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On non-uniform convergence and term-by-term integration of series. (English) JFM 34.0284.01

I. Die Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x),\dots\) und ihre Summe \(F(x)\) seien höchstens punktweis-unstetig; es wird gesetzt \[ s_n(x)=f_1(x)+\cdots +f_n(x), \] \(R_n(x)=f_{n+1}(x) +f_{n+2}(x)+\cdots \), so daß \(F(x)=s_n(x)+R_n(x)\) ist.
Eine Reihe von Funktionen von \(x\) heißt in einem Punkte \(\xi\) gleichmäßig konvergent, wenn, nachdem eine positive, beliebig kleine Größe \(A\) gegeben ist, ein \(\xi\) als inneren Punkt enthaltendes Intervall \(\delta\) bestimmt werden kann, so daß für alle Punkte \(x\) im Intervalle \(\delta\) \(|R_n(x)|<A\) ist für alle \(n \geqq m\), wo \(m\) eine von \(x\) unabhängige ganze Zahl ist. – Eine Reihe von Funktionen heißt gleichmäßig konvergent in einem abgeschlossenen Intervall oder in einer abgeschlossenen Menge, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls oder der Menge gleichmäßig konvergent ist.
Ein Intervall, in dem die Reihe konvergent ist, besteht aus der Menge der Punkte gleichmäßiger Konvergenz und aus den Punkten nicht gleichmäßiger Konvergenz.
Im allgemeinen bewirkt eine Unstetigkeit einer einzigen Funktion \(f_r(x)\) eine Unstetigkeit von \(F(x)\), fällt aber nicht mit einem Punkte nicht gleichmäßiger Konvergenz zusammen.
Wenn nach Festsetzung einer ganzen Zahl \(m\) und eines beliebig kleinen, \(P\) als inneren Punkt enthaltenden Intervalls \(\delta\) sich in \(\delta\) ein Punkt \(x\) finden läßt, welcher wenigstens auf einer Seite ein Stetigkeitspunkt von \(R_n(x)\) ist, in dem \(|R_n(x)|>A\) ist, wo die ganze Zahl \(n \geqq m\) ist, dann heißt \(P\) ein \(A\)-Punkt.
Die Punkte nicht gleichmäßiger Konvergenz zerfallen in zwei Klassen: 1. die Punkte für alle Werte von \(A\) und 2. die Punkte, welche Unstetigkeitspunkte einer unendlichen Zahl der Funktionen \(f_r(x)\) begrenzen. Für die Punkte der ersten Klasse hat \(A\) einen bestimmten Wert; sie bilden eine abgeschlossene, nirgends dichte Menge. Die Punkte der zweiten Klasse füllen das ganze Kontinuum aus.
II. \(F(x), f_1(x), f_2(x), \dots\) seien integrierbare Funktionen, dann ist auch \(s_n(x)\) für alle Werte von \(n\) integrierbar, daher auch \[ R_n(x)=F(x)-s_n(x). \] In einem Intervall, in welchem für alle Werte von \(n\), die größer sind als eine angebbare ganze Zahl, \(R_n(x)\) eine bestimmte obere Grenze hat, kann die Reihe gliedweise integriert werden.

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