×

Untersuchungen über Fouriersche Reihen. (German) JFM 34.0287.01

Ist es möglich, aus der zur stetigen Funktion \(f(x)\) gehörigen Fourierschen Reihe, beispielsweise aus der mit ihr äquivalenten Funktionsfolge \(s_0(x),s_1(x),\dots,s_n(x),\dots\), wo \[ s_n(x)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) d \alpha + \sum_{\nu=1}^n \left\{ \frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(\alpha)\cos \nu(\alpha-x)d \alpha \right\} \] ist, eine andere Funktionsfolge abzuleiten, die für ein beliebiges \(x\) zu \(f(x)\) als Grenzfunktion konvergiert\(?\) Diese Frage ist mit “Ja” zu beantworten: Die Folge der arithmetischen Mittel \[ s_0(x),\quad \tfrac 12 [s_0(x)+s_1(x)].\dots, \tfrac 1n[s_0(x)+s_1(x)+ \cdots + s_{n-1}(x)], \] welche aus endlichen trigonometrischen Reihen besteht, hat die angegebene Eigenschaft; sie konvergiert in jedem Intervall gleichmäßig zu \(f(x)\), während die Folge \(s_0(x),s_1(x),\dots,s_n(x), \dots\), wenn sie auch für jedes \(x\) konvergiert, nicht gleichmäßig zu konvergieren braucht. Im besonderen wird folgendes bewiesen:
Ist \(f(x)\) eine im Intervall von 0 bis \(2\pi\) integrable Funktion, die nur an einer endlichen Anzahl von Stellen dieses Intervalls unendlich wird, so konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel \(S_n(x)\) an jeder Stelle \(x\), wo \(f(x)\) stetig ist oder eine Diskontinuität von der ersten Art besitzt, und zwar zu \(\frac 12[f(x+0)+f(x-0)]\) als Grenzwert.
Ist \(f(x)\) eine Funktion, welche mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Stellen \(a_r\) des Intervalls \((0,2\pi)\) an welchen sie einen einfachen Sprung erleidet, überall stetig ist und eine stetige Ableitung \(f'(x)=0\) besitzt, so ist die aus der Fourierschen Reihe von \(f(x)\) \[ a_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx+b_n \sin nx) \] durch gliedweise Differentiation erhaltene Reihe \[ \varSigma(nb_n \cos nx-na_n \sin nx)\quad (n=1\quad \text{bis}\quad \infty) \] bekanntlich für jedes \(x\) divergent, während die arithmetischen Mittel dieser Reihe eine (von den Stellen \(a_r\) abgesehen) überall konvergente Folge bilden, die als Grenzfunktion die Ableitung \(f'(x)\) besitzt.
Es sei \(u_0+u_1+\cdots+u_n+\cdots\) eine divergente Reihe, für welche der Grenzwert \[ \lim S_n=S,\quad S_n=(s_0+s_1+\cdots +s_n)/(n+1),\quad s_n=u_0+\cdots +u_n \] existiert; es sei ferner \(\varphi(t)\) eine Funktion, für welche \[ |\varphi(t)|< \frac{M}{t^{2+\varrho}},\quad \left| \frac{d^2 \varphi}{dt^2} \right|< \frac{M}{t^{2+\varrho}} \] ist, wenn \(t\) positiv und größer als 1 ist; \(M\) und \(\varrho\) bedeuten positive Konstanten. Dann ist \[ F(t)=u_0 \varphi(0t)+u_1\varphi(1t)+ u_2 \varphi(2t)+\cdots +u_n \varphi(nt)+\cdots \] für jedes positive \(t\) konvergent, und wenn \(\varphi(0)=1\) ist, \(\lim F(t) = S\) für \(t = + 0\).

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Diese Arbeit ist ? von einigen Modifikationen abgesehen ? in der ungarischen Zeitschrift: ?Mathematikai és Physikai Lapok? (1902) erschienen; kurze Notizen über denselben Gegenstand sind in den Comptes Rendus (1900, 10 décembre und 1902, 7 avril) publiziert.
[2] Riemann: Habilitationsschrift. Ges. Werke S. 246.
[3] Dieser Satz ist die Verallgemeinerung eines bekannten Riemannschen Satzes, nach welchem schon \(\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } .\mathop {\smallint }\limits_a^b f(\alpha )\) sinn?d?=0 ist, wennf(?) im Intervalle (a, b) eine endliche obere Grenze besitzt. Ist dies nicht der Fall, so kann das Integral mit wachsendemn beliebig groß werden. (Riemann: Habilitationsschrift. Ges. Werke S. 246).
[4] Figuren zur Illustration der Annäherungsart ders n(x) findet man z. B. in dem Buche von Byerly: An elementary treatise on Fourier’s series, p. 63, 64.
[5] Bulletin de Darboux: 1890, p. 114.
[6] Crelle Journal Bd. 89, p. 262-264. Vgl. auch Hölder, Grenzwerte von Reihen an der Konvergenzgrenze, Math. Annalen Bd. 20, p. 535-549.
[7] Um eine kleine Anwendung dieses Satzes zu geben, betrachten wir die Potenzreihe inq \(\vartheta _4 (v,q) = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^n q^{n^2 } } \cos 2n\pi v.\) Hier ist die ? im wesentlichen schon oft betrachtete ? Reihe \(1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^n \cos 2n\pi v} \) für jedesv (außerv={\(\pm\)}1/2, {\(\pm\)}3/2,...) einfach unbestimmt und liefert den GrenzwertS=0. Folglich ist \(\mathop {\lim .}\limits_{q = 1 - 0} \vartheta _4 (v,q) = 0.\) (Vergl. in Borels Leçons sur les séries divergentesp{\(\cdot\)}7 den Beweis des Herrn Tannery.)
[8] Vergl. H. A. Schwarz: Gesammelte Abhandlungen Bd. II, p. 189.
[9] Den Satz über die Reihe (18) hat zuerst Herr Schwarz bewiesen, und Herr Picard benützt die gleichmäßige Konvergenz zum Beweise des Weierstraßschen Satzes über die Approximation einer stetigen Funktion durch endliche trigonometrische Reihen. Den tiefer liegenden Satz (19) hat Weierstraß bewiesen und benutzt den gleichmäßigen Übergang inf(?) eben zum Beweise seines gerade erwähnten Satzes. Wir sehen aber, daß eigentlich an der Spitze unser Hauptsatz zu stellen ist, denn aus ihm folgt am natürlichsten der Weierstraßsche Satz über die stetige Funktion, die Sätze (18), (19) usw. Vergl. in Picards Traité d’Analyse 2ième Edition Bd. I, p. 283-287, wo der Weierstraßsche Grundgedanke mit größter Klarheit hervorgehoben wird, und auch Poincaré: Propagation de la chaleur chap. V.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.