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Neue Grundlagen für die Theorie und Weiterentwicklung der Lieschen Funktionengruppen. (German) JFM 34.0390.05
Es wird nicht möglich sein, allen Auseinandersetzungen des Verf zu folgen; denn er bepackt seine Darstellung mit einer zu großen Fülle von Gedanken, die nur leider oft so flüchtig angedeutet sind, daß es vielfach kaum möglich ist, festzustellen, was er meint, und ob die Ansprüche, mit denen er auftritt, gerechtfertigt sind. Kantor wiederholt seinen Vorwurf gegen Lie, daß dieser die bilineare Kovariante eines Pfaffschen Ausdruckes niemals benutzt habe (vgl. F. d. M. \( 32\), 378, 1901, JFM 32.0378.01), tut sich aber selbst etwas darauf zugute, daß er die Jacobische Identität ganz vermeide. Daß er zugleich auf alte Vorteile verzichtet, die der Begriff der infinitesimalen Transformation bietet, erwähnt er gar nicht; mir scheint aber, daß die ganze Theorie ihre wahre Durchsichtigkeit erst dann bekommt, wenn man sowohl die infinitesimalen Transformationen, als die bilineare Kovariante benutzt. Bei dem folgenden Versuche, einige der interessantesten Entwicklungen des Verf. wiederzugeben, muß ich mir, der Kürze wegen und um an Bekanntes anknüpfen zu können, in den Bezeichnungen einige Änderungen gestatten. Jedem Systeme von \(m\) Pfaffschen Gleichungen in \(n\) Veränderlichen entspricht bekanntlich ein System von \(n - m\) linearen Gleichungen in \(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\). Ist das Pfaffsche System nicht integrabel, so hat man sich die \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) nicht als die Differentialquotienten einer Funktion, sondern als die Richtungskoeffizienten einer \((n - 1)\)-fach ausgedehnten ebenen Mannigfaltigkeit des \(R_n\) zu denken. \(^\ast\)) [\(^*\) Der Verf. bezeichnet diese Richtungskoeffizienten mit \(du_1,\dots,du_n\), was allerdings ganz zweckmäßig ist, wovon ich aber hier der Deutlichkeit wegen keinen Gebrauch mache.] Der Verf. betrachtet nun in dem \(R_{2n}(x_1,\dots,x_n;p_1,\dots,p_n)\) ein Pfaffsches System: \[ {(1)}\quad \sum_1^n {}_\nu (a_{\mu \nu}dx_\nu + b_{\mu \nu} dp_\nu)=0 \quad (\mu=1,\dots,m) \] und das zugehörige System: \[ {(2)}\quad \sum_1^n {}_\nu \left( A_{k \nu}\;\frac{\partial f}{\partial x_\nu} + B_{k \nu}\;\frac{\partial f}{\partial p_\nu} \right)=0 \quad (k=1,\dots,2n-m) \] in Verbindung mit der bilinearen Differentialform: \[ (3)\quad \sum_1^n {}_\nu (dx_\nu \delta p_\nu - dp_\nu \delta x_\nu) \] und der zu (3) gehörigen Kovariante: \[ (4)\quad \sum_1^n {}_\nu \left(\frac{\partial \varPhi}{\partial p_\nu}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial x_\nu} - \frac{\partial \varPhi}{\partial x_\nu}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial p_\nu} \right), \] die, wenn man die Größen \(\frac{\partial \varPhi}{\partial x_\nu},\dots,\frac{\partial \varPsi}{\partial x_\nu},\dots\) nicht als zwei Systeme von Richtungskoeffizienten, sondern als die Ableitungen von \(\varPhi\) und \(\varPsi\) auffaßt, nichts anderes ist als der Poisson-Jacobische Klammerausdruck \((\varPhi \varPsi)\). Da durch (3) und (4) zwischen den Fortschreitungsrichtungen \(dx_i,dp_i\) und den ebenen \(R_{2n-1}: \frac{\partial F}{\partial x_i},\,\frac{\partial F}{\partial p_i}\) durch einen Punkt des \(R_{2n}\) die Beziehung: \[ dx_i:dp_i=\frac{\partial F}{\partial p_i} : -\frac{\partial F}{\partial x_i} \quad (i=1,\dots,n) \] hergestellt ist, so ist dem Systeme {(1)} noch das folgende: \[ (5)\quad \sum_1^n{}_\nu \left( a_{\mu \nu}\;\frac{\partial F}{\partial p_\nu} - b_{\mu \nu}\;\frac{\partial F}{\partial x_\nu} \right)=0 \quad (\mu=1,\dots,m) \] zugeordnet und dem Systeme {(2)} dieses: \[ (6)\quad \sum_1^n{}_\nu (A_{k \nu}dp_\nu - B_{k \nu} dx_\nu)=0 \quad (k=1,\dots,2n-m). \] Die gleichzeitige Betrachtung der vier Systeme: {(1)}, {(2)}, (5), (6) ist der leitende Gedanke des Verf.; doch ist zu bemerken, daß das allgemeine Entsprechen zwischen (2) und (5) auch schon von Lie gelegentlich betrachtet worden ist (Trfsgr. II, 192 f.). Zwei Pfaffsche Gleichungen \(\varSigma(a_\nu dx_\nu+b_\nu dp_\nu)=0\) und \(\varSigma(a_\nu'dx_\nu+b_\nu' dp_\nu)=0\) heißen konjugiert in bezug auf (3), wenn \(\varSigma(a_\nu b_\nu'-b_\nu a_\nu')=0\). Ist nun eine Gleichung von {(1)}, etwa die erste, nicht mit jeder andern konjugiert, so kann man in {(1)} eine Gleichung \(\varSigma(a_\nu' dx_\nu + b_\nu' dp_\nu)=0\) so wählen, daß \(\varSigma(a_{1\nu} b_\nu' - b_{1\nu}a_\nu')=1\) wird, und die übrigen \(m - 2\) so, daß sie alle mit den beiden ausgewählten konjugiert ausfallen. Indem man diesen Prozeß fortsetzt, kann man für {(1)} eine kanonische Basis hinschreiben. Dabei gelangt man zuletzt zu einer gewissen Zahl \(m-2l\) von Gleichungen, die paarweise und mit allen übrigen Gleichungen des Systems {(1)} konjugiert sind, zu den sogenannten ausgezeichneten Gleichungen des Systems {(1)}. Analoges gilt für {(2)}. Die ausgezeichneten Gleichungen von {(1)} sind auch ausgezeichnete Gleichungen von (6); ja sie lassen sich, wie aus den Relationen: \[ \sum_1^n{}_\nu (a_{\mu \nu} A_{k \nu} + b_{\mu \nu} B_{k \nu})=0\quad (\mu=1,\dots,m;\;k=1,\dots,2n-m) \] hervorgeht, geradezu als die gemeinsamen Gleichungen von (1) und (6) definieren. Besitzt (1) gerade \(s \leqq m\) unabhängige Integralfunktionen \(\varPhi_1,\dots,\varPhi_s\), so lassen sich \(s\) von den Gleichungen {(1)} durch: \[ d \varPhi_1=0,\dots d \varPhi_s=0 \] ersetzen, und (5) enthält gerade \(s\) unabhängige Gleichungen von der Form \((\varPhi_1 F) = 0,\dots,(\varPhi_s F)=0\). Dieser Satz ist offenbar umkehrbar, und ein entsprechender Satz gilt für (2) und (6), wenn (6) gerade \(s'\) unabhängige Integralfunktionen \(\varPsi_1,\dots,\varPsi_{s'}\) besitzt. Zugleich ist dann \((\varPhi_k \varPsi_j)=0\) \((k=1,\dots,s;\;j=1,\dots,s')\). Hieraus folgt, daß (1) und (6) dann und nur dann beide unbeschränkt integrabel sind, wenn (2) ein \((2n - m)\)-gliedriges vollständiges System ist und außerdem \((2n - m)\) unabhängige Gleichungen von der Form \((\varPsi_j F)=0\) enthält. Sind dann \(\varPhi_1,\dots,\varPhi_m\) unabhängige Lösungen von (2), so läßt sich (5) in der Form \((\varPhi_\mu F)=0\) \((\mu=1,\dots,m)\) schreiben, und alle Ausdrücke \((\varPhi_\mu \varPsi_j)\) sind Null. Demnach bestimmen die \(\varPhi\) und die \(\varPsi\) zwei reziproke Funktionengruppen im Sinne von Lie, und zwar gelangt man so offenbar zu allen Funktionengruppen. Bestimmen \(u_1,\dots,u_r\) eine \(r\)-gliedrige Funktionengruppe, so ist \((u_i u_k)=w_{ik}(u_1,\dots,u_r)\), und die Zusammensetzung der Funktionengruppe wird durch die bilineare Form: \[ (7)\quad \sum_{ik}^{1 \dots r} w_{ik} (u_1,\dots,u_r)\;\frac{\partial \varPhi}{\partial u_i}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial u_k} \] repräsentiert, die nach Trfsgr. II, Kap. 13 auf eine Normalform: \[ (8)\quad \sum_1^l {}_k \left(\frac{\partial \varPhi}{\partial P_k}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial X_k} - \frac{\partial \varPhi}{\partial X_k}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial P_k} \right) \quad (2l \leqq r) \] gebracht werden kann, wo die \(P_k\), \(X_k\) Funktionen von \(u_1,\dots,u_r\) sind, und wo \(r - 2l\) die Zahl der ausgezeichneten Funktionen der Funktionengruppe ist. Der Verf. macht in \(\S\) 23 seiner Arbeit die neue und schöne Bemerkung, daß die in den Differentialen \(du,\delta u\) gebildete bilineare Kovariante von (7) für die Transformationstheorie von (7) sehr wichtig ist. Sollte ihm aber entgangen seit), daß diese Kovariante \[ (9)\quad \begin{vmatrix} \l\;& \l\;& \l\;&\l\\ du_1 & \dots & du_r & 0 \\ w_{11} & \dots & w_{1r} & \delta u_1 \\ \;. & \dots & \;. & \;. \\ w_{r1} & \dots & w_{rr} & \delta u_r \end{vmatrix} \] nur für gerades \(r\) alternierend ist, während sie für ungerades \(r\) in das Produkt zweier Pfaffschen Ausdrücke zerfällt? Er sagt auch nicht, welche Kovariante man an die Stelle von (9) zu setzen hat. wenn die Funktionengruppe mehr als eine ausgezeichnete Funktion enthält, wo (9) identisch verschwindet. Endlich braucht auch bei geradem \(r\), wenn die Funktionengruppe keine ausgezeichnete Funktion enthält, sobald man (7) auf die Form (8) gebracht hat \((r = 2l)\) die Form (9) nicht in eine Form mit konstanten Koeffizienten überzugehen; wenigstens ist das von vornherein nur bei der Form sicher, die aus (9) durch Division mit der Determinante der \(w_{ik}\) hervorgeht, und nur von dieser Form ist es sicher, daß sie die bilineare Kovariante eines Pfaffschen Ausdrucks in \(u_1,\dots,u_r\) ist. Überdies erfordert die Reduktion eines Pfaffschen Ausdrucks auf seine Normalform im allgemeinen schwierigere Integrationen als die Reduktion seiner bilinearen Kovariante auf ihre Normalform; es ist deshalb zum mindesten eine ungenaue Ausdrucksweise, wenn der Verf. auf S. 794 sagt, daß die Reduktion einer Funktionengruppe auf ihre kanonische Form dieselben Integrationen verlangt wie die eines Pfaffschen Ausdrucks. Von den übrigen Entwicklungen des Verf. über Funktionengruppen will ich nur seinen Versuch erwähnen, Funktionengruppen in \(z,x,p\) zu konstruieren (in \(\S\) 18). Lie wußte wohl. warum er solche nicht eingeführt hat. Es gibt zwar Systeme von \(r\) unabhängigen Funktionen \(\varphi_1,\dots,\varphi_r\) der \(z, x, p\) derart, daß \[ [\varphi_i \varphi_k]=w_{ik}(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \] wird, aber diese Eigenschaft bleibt nicht bei beliebiger Berührungstransformation erhalten. Ferner übersieht der Verf., daß aus der Unabhängigkeit der Funktionen \(\varphi_1,\dots,\varphi_r\) die Unabhängigkeit der Gleichungen: \([\varphi_1f]=0,\dots,[\varphi_rf]=0\) nicht folgt.
Soviel über den ersten Teil der Arbeit (S. 755-814). Der zweite Teil (S. 678-754), der aus Versehen in eine andere Abhandlung des Verf. geraten ist, verallgemeinert die auf die Poissonsche Form (4) bezüglichen Entwicklungen auf eine beliebige alternierende Differentialquotientenform: \[ P(\varPhi,\varPsi)=\sum_{\mu \nu}^{1 \dots n}\;P_{\mu \nu} (u_1,\dots,u_n) \frac{\partial \varPhi}{\partial u_\mu}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial u_\nu}. \] Unter gewissen Voraussetzungen gilt dann eine der Theorie der Funktionengruppen vollständig analoge Theorie. Es wird: \[ P(\varPhi,P(\varPsi F))-P(\varPsi,P(\varPhi,F))= P(P(\varPhi,\varPsi),F) + \sum_{ikj \mu} \left(P_{i \mu}\;\frac{\partial P_{kj}}{\partial x_\mu} + P_{k \mu}\;\frac{\partial P_{ji}}{\partial x_\mu} + P_{j \mu}\;\frac{\partial P_{ik}}{\partial x_\mu}\right)\;\frac{\partial \varPhi}{\partial x_i}\;\frac{\partial \varPsi}{\partial x_k}\;\frac{\partial F}{\partial x_j}. \] Der Ausdruck in der letzten Zeile ist eine trilineare Kovariante von \(P(\varPhi,\varPsi)\), deren identisches Verschwinden notwendig und hinreichend ist, damit für \(P(\varPhi,\varPsi)\) die Jacobische Identität gilt; doch hat das auch schon Lie gezeigt (Trfsgr. III, S. 604 ff.). Wohl aber ist die Einführung der trilinearen Kovariante selbst neu. Ich will hier das so wie so schon zu lang geratene Referat abbrechen, da es unmöglich ist, die noch folgenden allgemeinen Ideen des Verf. kurz wiederzugeben, so interessant und wichtig sie auch vielfach sind. Nur zu \(\S\) 5 (S. 680 ff.) eine Bemerkung. Es handelt sich um solche Berührungstransformationen, bei denen die \(x,p\) für sich transformiert werden. Daß die vom Verf. definierte “Klasse” einer solchen Berührungstransformation eine gegenüber Berührungstransformationen invariante Zahl sei, ist nicht richtig: eine einzelne Berührungstransformation hat überhaupt keine invariante Eigenschaft und kann durch Berührungstransformation immer auf eine solche Form gebracht werden, daß sie durch eine einzige aequatio directrix bestimmt wird. Die Klassifikation der Gruppen von Berührungstransformationen, die der Verf. aufstellt, ist keine andere als die nach den durch Involutionssystems ausdrückbaren Imprimitivitätszerlegungen des Raumes der \(x,p\).

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