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Jacobi’s criterion when both end-points are variable. (English) JFM 34.0402.01
Soll das Integral \[ J=\int_{x_1}^{x_2} F(x,y,y')dx, \] erstreckt längs einer Kurve \(C\), deren beide Endpunkte 1 und 2 auf zwei gegebenen Kurven \(D\) und \(E\) variabel sind, zu einem Extremum werden, so muß bekanntlich \(C\) eine Extremale sein, d. h. eine Lösung der Differentialgleichung \[ \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\;\frac{\partial F}{\partial y'}=0, \] und die beiden gegebenen Kurven \(D\) und \(E\) transversal schneiden, d. h. in den Schnittpunkten von \(C\) mit \(D\) und \(E\) muß die Bedingung \[ F+(\overline{y}'-y') \frac{\partial F}{\partial y'}=0, \] wo sich \(y,y'\) auf die Kurve \(C\) und \(\overline{y},\overline{y}'\) auf die Kurve \(D\) oder \(E\) beziehen, erfüllt sein. Zu diesen beiden Bedingungen muß noch eine dritte Bedingung gefügt werden, welche eine Ausdehnung des für das gewöhnliche Problem fester Endpunkte gültigen Jacobischen Kriteriums der konjugierten Punkte darstellt. Die Ableitung dieses Kriteriums bildet das Ziel der vorliegenden Abhandlung.
Zunächst zeigt der Verf., daß der zur Kurve \(D\) gehörende kritische Punkt \(d\) notwendigerweise weder in dem Integrationsintervalle 12, noch in dem Intervalle \(2e\) liegen darf; wenn \(e\) den zur Kurve \(E\) gehörenden kritischen Punkt bezeichnet. Die Bezeichnung “kritischer Punkt” \(k\) einer Kurve \(K\) ist von dem Verf. bereits in einer früheren Arbeit (F. d. M. \(33\), 385, 1902, JFM 33.0385.01) für den von Kneser in seinem Lehrbuche als “extremalen Brennpunkt” bezeichneten Punkt, d. h. für den ersten Punkt, in welchem die betrachtete Extremale \(C\) die Enveloppe des extremalen Feldes berührt, eingeführt worden. Nimmt man nämlich an, daß \(d\) zwischen 1 und \(e\) liegt, und wählt man auf \(C\) einen Punkt 3 zwischen \(d\) und \(e\), so liefert bei der Anordnung \(12 d 3e\) die Extremale \(C\) nur zwischen \(E\) und 3 ein Minimum von \(J\), nicht aber zwischen \(D\) und 3, weil das Intervall 1 2 3 den kritischen Punkt \(d\) von \(D\) einschließt. Es gibt also in beliebiger Nähe von \(C\) eine Kurve \(C'\) zwischen \(D\) und 3, welche \(D\) und \(E\) in \(1'\) und \(2'\) schneidet, so daß \[ J_{1'2'3}<J_{123} \quad \text{und} \quad J_{2'3}>J_{23} \] ist, woraus durch Subtraktion sofort \[ J_{1'2'}<J_{12} \] folgt.
Liegt aber der kritische Punkt \(e\) von \(E\) zwischen \(E\) und dem kritischen Punkte \(d\) von \(D\), so liefert \(C\) sicher eine Extremum. Um hierfür den Nachweis zu erbringen, benetzt der Verf. die auf \(D\) transversal stehenden Feldextremalen \(y=\varphi(x,\gamma)\) und differenziert das Integral \[ J_{1'2'}=J(\gamma) = \int_{x_1'}^{x_2'} F(x,\varphi,\varphi')dx \] zweimal nach dem Feldparameter \(\gamma\).
Um für reguläre Probleme \((F_{y'y'} > 0)\) ein zugleich notwendiges und hinreichendes Kriterium zu finden, welches auch gilt, wenn \(d\) und \(e\) zusammenfallen, betrachtet der Verf. die Kurve \(T\), welche durch den Punkt 2 geht und von allen Feldextremalen transversal geschnitten wird. Ein Minimum von \(J\) tritt dann, aber auch nur dann ein, wenn \(T\) und \(E\) in ihrem Schnittpunkte 2 mit \(C\) eine Berührung ungerader Ordnung besitzen, so daß \(E\) in der Umgebung von 2 ganz auf der Seite von \(T\) liegt, welche der Kurve \(D\) abgewandt ist.
Die obigen Theoreme sind von diesem letzten spezielle Fälle, in denen die Berührung von erster Ordnung ist.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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References:
[1] Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 23 (1878), p. 369. In this article Erdmann also discussed the second variation for the general problem with variable endpoints.
[2] In an exceptional case,d ande may coincide. The analogous exception in the general problem with fixed endpoints, is when the endpoints are conjugates. See Osgood, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 2, p. 166.
[3] Problems satisfying the condition c) have been named by Hilbert,regular problems.
[4] See for example, Kneser, Variationsrechnung, pp. 22, 30: Osgood, Sufficient Conditions in the Calculus of Variations, Annals of Mathematics, 2d Ser., Vol. 2, p. 105.
[5] See Kneser, l. c. Variationsrechnung, Sufficient Conditions in the Calculus of Variations, Annals of Mathematics, 2d Ser., Vol. 2 pp. 89, 97; Bliss, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 3, p. 132.
[6] Bliss, l. c. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 3, p. 132. The notation of the present article is slightly different,P, Q, R being used in place ofP 1,P 2,Q.
[7] For a proof that such a set can be determined, see Kneser l. c. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 3, p. 109.
[8] The interior of the dotted lines in the figure. See Bolza, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 2, p. 424.
[9] This is a consequence of the field, which is a field forC ? as well as forC, and of the fact thatF y’y’>0 for all values ofy’. See Osgood, Annals, l. c., Variationsrechnung, Sufficient Conditions in the Calculus of Variations, Annals of Mathematics, 2d Ser., Vol. 2, p 119.
[10] Found by substitutingU,V in (2) and eliminating the terms inU,V. The constantc must be different from zero, otherwiseU andV could not be linearly independent. See Jordan, Cours d’Analyse, III, p. 152.
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