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Leçons sur les fonctions méromorphes. Recueillies et rédigées par L. Zoretti. (French) JFM 34.0408.01
Paris: Gauthier-Villars. VI u. 119 S. gr. 8\(^\circ\) (1903).
Seinen vortrefflichen Leçons sur les fonctions entières (F. d. M. \( 31\), 392-393, 1900, JFM 31.0392.02) hat Borel als Fortsetzung die Leçons sur les fonctions méromorphes folgen lassen, die nach denselben Grundsätzen bearbeitet sind und dieselben Vorzüge besitzen wie jene.
In dem ersten Kapitel wird nach einigen grundlegenden Auseinandersetzungen über die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen das Theorem von Mittag-Leffler über die Darstellung einer meromorphen Funktion, deren Hauptteile für die einzelnen Pole gegeben sind, im wesentlichen auf dem Wege hergeleitet, den Weierstraß angegeben hat. Erhält man so das Analogon zu der Partialbruchdarstellung der gebrochenen rationalen Funktionen, so ergibt sich vermöge des Theorems von Weierstraß über die Zerlegung ganzer Funktionen in Primfaktoren, das bei Borel als Korollar zu dem Satze von Mittag Leffler in Erscheinung tritt, die Analogie zu der Darstellung durch den Quotienten zweier Polynome. Sehr zweckmäßig erscheint dem Referenten der Sprachgebrauch, der sich vielfach bei französischen Autoren findet und der von Borel konsequent durchgeführt worden ist, daß das Wort “ganze Funktion” den ganzen transzendenten Funktionen vorbehalten bleibt, während die ganzen rationalen Funktionen als “Polynome” bezeichnet werden.
Das zweite Kapitel ist der Taylorschen Reihe gewidmet. Den Ausgangspunkt bilden die Untersuchungen von Hadamard, die zu einem Verfahren führen, das es theoretisch ermöglicht, aus der Taylorschen Reihe für eine meromorphe Funktion deren Pole zu ermitteln; bei der praktischen Durchführung stößt man freilich fast immer auf unüberwindliche Schwierigkeiten.
Das dritte und das vierte Kapitel betreffen die Ausdehnung des Theorems von Picard auf meromorphe Funktionen und die Darstellung solcher Funktionen mittels “kanonischer Reihen”, Gegenstände, die Borel bereits 1901, wenn auch in gedrängterer Form, in einer Arbeit behandelt hatte, über die der Referent F. d. M. \( 32\), 415-417, 1901, JFM 32.0415.01, ausführlich berichtet hat.
Den Schluß des Werkes bilden Nachträge zu den Leçons sur les fonctions entières: in vier Noten wird über die wichtigsten Ergebnisse neuerer Abhandlungen von E. Lindelöf, P. Boutroux, Helge von Koch, E. Maillet berichtet.

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