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On the integration of series. (English) JFM 34.0413.01

Sind die Funktionen der reellen Veränderlichen \(x\): \[ u_1(x),u_2(x),\dots,u_n(x),\dots \] in dem Intervall \(x = (a \dots b)\) stetig, und konvergiert die unendliche Summe \[ s(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x) \] für jeden Punkt dieses Intervalles, so braucht doch, wie Abel zuerst erkannt hat, \(s(x)\) in \((a \dots b)\) nicht stetig zu sein, wohl aber ist, wie Seidel und Stokes erkannt haben, für die Stetigkeit hinreichend, daß die Summe in \((a \dots b)\) gleichmäßig konvergiert. Unter derselben Voraussetzung gilt auch die Gleichung \[ \int_\alpha^\beta s(x)dx=\sum_{n=1}^\infty \int_\alpha^\beta u_n(x)dx, \] wo \((\alpha \dots \beta)\) ein Teilintervall des Intervalles \((a \dots b)\) bezeichnet; es ist also “gliedweise Integration” gestattet. Wie Osgood gezeigt hat (F. d. M. 27, 193-194, 1896, JFM 27.0193.01 und 28, 221, 1897, JFM 28.0221.01), ist es erlaubt, \(s(x)\) gliedweise zu integrieren, wenn 1. \(s(x)\) in \((\alpha \dots \beta)\) stetig ist und 2. darin kein Punkt vorkommt, für den das Maß der ungleichförmigen Konvergenz unendlichgroß wird. Im Anschluß an die Untersuchungen von Baire (F. d. M. 30, 359-360, 1899, JFM 30.0359.01) beweist der Verf., daß die Bedingung 1. durch die weitere ersetzt werden darf, daß \(s(x)\) in \((\alpha \dots \beta)\) integrabel ist, so daß die Bedingung 2. als notwendig und hinreichend anzusehen ist.

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References:

[1] American Journal of Mathematics, Vol. XIX. 1897.
[2] See Annali di Math. (3) III, 1899.
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