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Sur l’intégration des séries. (French) JFM 34.0417.02

Wenn die Summe einer unendlichen Reihe stetiger Funktionen: \[ {(1)}\quad f'(x)=u_1'(x)+u_2'(x)+\cdots \] eine stetige Funktion von \(x\) ist, so unterscheidet man zwei Arten von Punkten ungleichmäßiger Konvergenz, erstens Punkte, in deren Nachbarschaft der Reihenrest \(R_n(x)\) durch passende Annahme der Veränderung von \(x\) und \(n\) über jede Grenze hinauswachsen kann, und welche Osgood \(X\)-Punkte nennt, und zweitens Punkte, in deren Nachbarschaft der Reihenrest unendlich klein wird. Der Verf. beweist nun den Satz: Wenn man die Reihe {(1)} gliedweise integriert und die so erhaltene Reihe in einem gewissen Intervalle gleich dem Integrale \(f(x)\) von \(f'(x)\) ist, so sind die Punkte ungleichmäßiger Konvergenz der integrierten Reihe unter den \(X\)-Punkten der ersten enthalten. Besitzt also die Reihe {(1)} keine \(X\)-Punkte, so ist die integrierte Reihe im ganzen Intervall gleichmäßig konvergent.
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Full Text: Gallica