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Sur les opérations fonctionelles. (French) JFM 34.0419.06

Die linearen Funktionaloperationen. d. h. die Gesetze, nach denen man jeder in einem Intervall \(a< x <b\) definierten Funktion \(f(x)\) eine Zahl \(U\) derart zuordnen kann, daß für beliebige Zahlen \(c_1, c_2\) und beliebige Funktionen \(f_1,f_2\) die Beziehung gilt: \[ U(c_1f_1+c_2f_2)=c_1U(f_1)+c_2U(f_2), \] sind von Volterra, Pincherle und Bourlet untersucht worden. Diese Autoren haben derartige Operationen durch Reihen der Form ausgedrückt: \[ U=a_0f(x_0)+a_1f'(x_0)+\cdots + \frac{a_p}{p!}\;f^{(p)}(x_0)+\cdots, \] worin \(x_0\) eine beliebige Zahl bedeutet.
Hadamard macht darauf aufmerksam, daß diese Darstellung im allgemeinen nur für analytische Funktionen möglich ist; auch gibt es in diesem Falle im allgemeinen einen beschränkten Konvergenzbereich. Verf. behandelt deswegen das Problem auf einem neuen Wege, indem er die Operation \(U\) mit Hülfe einer Funktion \(F(x)\), die nur eine endliche Anzahl von Maxima und Minima besitzt und der Bedingung genügt: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(x)dx=1,\quad \text{z. B.}\quad F(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\;e^{-x^2}, \] durch ein bestimmtes Integral darstellt. Es kann so auf die Voraussetzung analytischer Funktionen verzichtet werden. – Zum Schluß dehnt Verf. seine Methode auf Funktionen mehrerer Variabeln aus und deutet noch eine Anwendung auf die Variationsrechnung an.

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Full Text: Gallica