Sur une classe d’équations fonctionnelles. (French) JFM 34.0422.02

Fredholm, I.

Acta Math. 27, 365-390 (1903).

Die Klasse von Funktionalgleichungen, mit denen sich die vorliegende Arbeit beschäftigt, ist dadurch charakterisiert, daß eine Funktion \(\varphi(x)\) bestimmt werden soll, die der Gleichung:
\[ \varphi(x)+\int_0^1 f(x,y)\varphi(y)\,dy=\psi(x) \tag{1} \]
genügt, wo \(f(x,y)\) und \(\psi(x)\) gegebene Funktionen bedeuten. Diese Funktionalgleichung bildet eine Verallgemeinerung der von Abel mehrfach behandelten Funktionalgleichung:
\[ \int f(x,y)\varphi(y)\,dy=\psi(x), \]
und sie umfaßt auch die von V. Volterra in wichtigen Arbeiten [vgl. Rom. Acc. L. Rend. (5) 5, No. 1, 177–185 (1896; JFM 27.0309.01); 5, No. 2, 289–300 (1896; JFM 27.0309.02); Torino Atti 31, 311–323, 400–408, 557–567, 693–708 (1896; JFM 27.0309.03) und Annali di Mat. (2) 25, 139–178 (1897; JFM 28.0366.02)] untersuchte Funktionalgleichung als besonderen Fall. Die Wichtigkeit der Fredholmschen Funktionalgleichung beruht darin, daß die meisten Probleme der mathematischen Physik, die auf lineare Differentialgleichungen führen, sich in die Form solcher Funktionalgleichungen umsetzen oder in die noch allgemeinere Form: \[ \varphi(x_1\dots x_n) + \int \cdots \int f(x_1 \dots x_n,\xi_1 \dots \xi_n) \varphi(\xi_1\dots \xi_n) d \xi_1\dots d \xi_n = \psi(x_1 \dots x_n). \] Der Verf. behandelt sein Problem nicht in voller Allgemeinheit, sondern er legt der Funktion \(f(x,y)\) die Beschränkung auf, daß \[ (x-y)^a f(x,y) \] eine endliche und integrierbare Funktion sei, wobei \(\alpha\) kleiner ist als 1.
Nach Einführung und Bestimmung der Eigenschaften der Determinante der ursprünglichen Funktionalgleichung geht Verf. dazu über, die Gleichung {(1)}, in der \(\psi(x)\) als endliche und integrierbare Funktion vorausgesetzt wird, als eine Transformation der Funktion \(\varphi(x)\) anzusehen, die zu der Funktion \(f(x,y)\) gehört; er schreibt demgemäß die Gleichung {(1)}: \[ S_f \varphi(x)=\psi(x). \] Von diesen Transformationen wird zunächst nachgewiesen, daß sie eine Gruppe bilden. Ferner wird der folgende Satz hergeleitet:
Wenn die Determinante einer Funktionalgleichung der Form \[ \varphi(x)+\int_0^1 f(x,s)\varphi(s)ds=\psi(x), \] in der \(f(x,s)\) und \(\psi(x)\) endliche und integrierbare Functionen sind, nicht verschwindet, so gibt es eine und nur eine Funktion \(\varphi(x)\), die dieser Gleichung genügt. Diese Funktion wird gegeben durch die Gleichung: \[ \varphi(x)=\psi(x)- \int_0^1\;\frac{D_f {x \choose y}}{D_f}\;\psi(y)dy, \] wo \(D_f\) die Determinante der Funktionalgleichung bedeutet.
Unter der Voraussetzung, daß die Determinante verschwindet, ergibt sich: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine von Null verschiedene Lösung der Gleichung \[ S_f \varphi(x)=0 \] existiert, lautet: \(D_f=0\), Ist \(n\) die Ordnung der ersten nicht verschwindenden Unterdeterminante von \(D_f\), so besitzt die gegebene Gleichung \(n\) linearunabhängige Lösungen.
In den übrigen Teilen der Abhandlung wird die erste Variation der Determinante \(D_f\) hergeleitet, das Multiplikationstheorem der Determinante entwickelt und insbesondere noch der Fall näher ins Auge gefaßt, daß die Funktion \(f(x,y)\) unendlich wird, aber so daß \((x-y)^\alpha f(x,y)\) endlich bleibt.

Reviewer: Gutzmer, Prof. (Jena)

MSC:

39Bxx

Functional equations and inequalities

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 27.0309.01; JFM 27.0309.02; JFM 27.0309.03; JFM 28.0366.02

References:

[1]	Magazin for Naturvidenskaberne, Kristiania 1823 et Oeuvres complêtes.
[2]	Annali di Matematica, 1896.
[3]	Bulletin des sciences mathématiques, 1893, p. 242.