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Untersuchungen über die Darstellung willkürlicher Funktionen in der mathematischen Physik. (German) JFM 34.0428.02

“Viele Fragen der mathematischen Physik, besonders solche, die sich auf die Verteilung der Wärme und auf Schwingungsvorgänge beziehen, führen auf eine analytische Aufgabe, der Sturm und Liouville in den ersten Bänden des Liouvilleschen Journals eine Reihe klassischer Abhandlungen gewidmet haben, und die in folgender Weise ausgesprochen werden kann.
Es seien \(g, k, l\) drei in dem Intervall von \(x=0\) bis \(x=X\) gegebene Funktionen von \(x\), und \(r\) ein positiver Parameter. Bestimmt man dann \(V\) als Funktion von \(x\) durch die Differentialgleichung \[ \frac{d}{dx} \left(k\;\frac{dV}{dx} \right) + (gr-l)V=0 \] und verlangt, daß sie den Bedingungen \[ {(1)}\quad \begin{cases} \left. k \,\frac{dV}{dx}-hv \right|^0=0, \\ \left. k \,\frac{dV}{dx}-Hv \right|^X=0 \end{cases} \] genüge, in denen durch \(h\) und \(H\) Konstanten bezeichnet sind, so ist dies nur möglich, wenn dem Parameter \(r\) gewisse besondere Werte beigelegt werden. Man erhält für ihn eine transzendente Gleichung, die, wenn für die Funktionen \(k,g,l\) angemessene Voraussetzungen gemacht werden, nur einfache positive Wurzeln \(r_1,r_2,\dots\) besitzt. Die zugehörigen Funktionen \(V\), welche bis auf einen konstanten Faktor bestimmt sind seien \(V_1,V_2,\dots\); sie werden nach Lord Rayleigh als Normalfunktionen der betreffenden Aufgabe bezeichnet und haben die leicht erweisliche Grundeigenschaft \[ {(2)}\quad \int_0^X gV_\mu V_\nu dx=0, \] wenn \(\mu\) und \(\nu\) verschiedene ganze Zahlen sind. Es handelt sich darum, eine in dem Intervall von \(x = 0\) bis \(x = X\) willkürlich gegebene Funktion \(f(x)\) durch eine Reihe von der Form \[ (3)\quad f(x)=A_1V_1+A_2V_2+\cdots \] darzustellen, für deren Koeffizienten man, wenn die Entwicklung möglich ist und gleichmäßig konvergiert, auf Grund der Eigenschaft {(2)} sofort den Ausdruck \[ (4)\quad A=\int_0^X gf(x)V_\nu dx : \int_0^X gV_\nu^2 dx \] erhält, indem man nach Fourier die Gleichung (3) mit \(gV_\nu\) multipliziert und von 0 bis \(X\) integriert.
Das Ziel, dem die vorliegenden Untersuchungen zustreben, besteht nun darin, unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen zu beweisen, daß die mit den Koeffizienten (4) gebildete Reihe (3) die Funktion \(f(x)\) wirklich darstellt; dies gelingt, indem der Funktion \(f(x)\) im wesentlichen dieselben Beschränkungen wie in dem Dirichletschen Beweise für die Fouriersche Reihendarstellung auferlegt werden. Einzelne analytische Entwicklungen, die ich dabei benutze, sind durch die hierhergehörigen Arbeiten von Dini, Harnack, Poincaré und Stekloff angeregt oder aus ihnen entlehnt; der Grundgedanke kann in folgender Weise angedeutet werden.
Die angeführten neueren Autoren benutzen sämtlich ein von Cauchy bei seiner Untersuchung der Fourierschen Reihe eingeführtes Hülfsmittel; sie konstruieren eine Funktion einer komplexen Variable \(r\), welche \(x\) als Parameter enthält, an Singularitäten nur die Pole \(r=r_\nu\) aufweist und als Residuen die entsprechenden Glieder der Reihe (3) ergibt. Poincaré hat, wie es scheint, zuerst darauf hingewiesen. daß die Cauchysche Hülfsfunktion dasjenige Integral der Gleichung: \[ \frac{d}{dx} \left(k \;\frac{dV}{dx} \right) +(gr-l)V+f(x)=0 \] ist, welches den Bedingungen {(1)} genügt. Hinsichtlich dieser Funktion von \(r\) benutze ich nur die leicht ersichtliche Tatsache, daß irgend ein Wert \(r_\nu\) aus der Reihe ihrer Pole wegfällt, wenn der entsprechende Koeffizient \(A_\nu\) verschwindet; sind diese Größen sämtlich gleich Null, so ist die Cauchysche Hülfsfunktion ganz, d. h. eine beständig konvergente Potenzreihe des Argumentes \(r\). Das ist aber, wie sich leicht zeigen läßt, nur möglich, wenn die Funktion \(f(x)\) identisch verschwindet, und so gewinnt man den Satz, daß in dem Intervall von \(x=0\) bis \(x=X\) überall die Gleichung \(f(x)=0\) gilt, wenn alle \(A_\nu\) verschwinden.
Hieraus erschließt man durch die oben angedeutete Argumentation von Fourier die gewünschte Gleichung (3), sobald deren rechte Seite gleichmäßig konvergiert, und der zweite Teil unserer Arbeit besteht darin, Bedingungen aufzusuchen, denen die Funktion \(f(x)\) unterworfen werden muß, um für die Reihe (3) die bezeichnete Eigenschaft zu sichern. Die erhaltenen Bedingungen werden möglichst erweitert; andererseits untersuche ich die Vereinfachungen des Beweises, welche möglich werden und von Interesse sind, wenn man die einzelnen Probleme der mathematischen Physik mit einem möglichst geringen Aufwande von allgemeiner Theorie behandeln will.”

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References:

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