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Sur une formule sommatoire générale. (French) JFM 34.0439.04
Abel hat für die Funktion \(f(x)=\varSigma \varphi(x)\), die der Funktionalgleichung \(f(x+1) - f(x) = \varphi(x)\) genügt, die Formel aufgestellt: \[ \varSigma \varphi(x)=\int \varphi(x)\,dx - \tfrac 12 \varphi(x)+2 \int_0^\infty \frac{\varphi(x+it)-\varphi(x-it)}{2i}\, \frac{dt}{e^{2\pi t}-1}, \] die erst von L. Kronecker [J. Reine Angew. Math. 105, 345–351 (1889; JFM 21.0281.01)] streng bewiesen worden ist. Der Verf. gibt die Resultate an, welche er durch Anwendung dieser Summationsformel auf die Theorie der analytischen Fortsetzung von Potenzreihen und auf die Theorie der Nullstellen der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion erhalten hat. Die nähere Ausführung enthält eine Abhandlung in Acta Soc. Sci. Fenn. 31, Nr. 3, 1–46 (1902; JFM 33.0411.02).

MSC:
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
30B40 Analytic continuation of functions of one complex variable
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
Subjects:
Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.
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References:
[1] Oeuvres complètes d’Abel (éditionSylow-Lie), t. I, p. 23.
[2] Voir ibid. Oeuvres complètes d’Abel (éditionSylow-Lie), t. II, p. 290.
[3] Ibid., Oeuvres complètes d’Abel (éditionSylow-Lie) t. I, p. 35.
[4] Journal de Crelle, t. 105, pp. 345–354.
[5] Vorlesungen über Funktionentheorie (Copenhague 1898). · JFM 30.0210.02
[6] Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un développement de Taylor (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2e Série, Tome II, 1900).
[7] Nous avions communiqué ces résultats àM. Mittag-Leffler dans une lettre datée du 22 janvier 1902.
[8] Note sur les zéros de la fonction {\(\zeta\)}(s) de Riemann (présentée à l’Académie des Sciences de Copenhague le 7 février 1902; réimprimée ci-dessus, p. 289).
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