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Über ganze transzendente Funktionen von unendlicher Ordnung. (German) JFM 34.0448.01
Diss. Göttingen. 75 S. \(8^\circ\) (1903).
Die auf Anregung von Blumenthal entstandene Abhandlung liefert in dankenswerter Weise eine vertiefte Untersuchung über ganze transzendente Funktionen von unendlicher Ordnung. Es kam vor allem darauf an, die Borelschen Resultate (Acta math. \(20\), 357-396; F. d. M. \(28\), 360, JFM 28.0360.01), deren Beweise sehr kurz gehalten sind, von neuem abzuleiten oder nachzuprüfen und die Gesamtergebnisse der Theorie der Funktionen von unendlicher Ordnung systematisch zu entwickeln.
Gegenüber dem etwas verschwommenen Begriff der Funktionen à croissance très rapide und à croissance très lente wurde vor allem nach einer scharfen Präzisierung gestrebt; zu dem Zwecke wird zunächst eine Theorie der Vergleichsfunktionen aufgestellt. Setzt man auf einem Kreise mit dem Radius \(|z| = r\) das Maximum des absoluten Betrages einer ganzen Funktion von unendlicher Ordnung an in der folgenden Form: Max\(|F(z)=e^{r^{\nu{(r)}}}\), so wächst die Funktion \(\nu{(r)}\) im allgemeinen unregelmäßig; es wird deshalb eine neue Funktion \(\mu{(r)}\) eingeführt, die die eventuellen Schwankungen und Unregelmäßigkeiten von \(\nu{(r)}\) nicht aufweist, im übrigen aber bezüglich ihres Verlaufs und ihrer Werte in gewisser Nähe von \(\nu{(r)}\) bleibt. Es wird definiert: Eine Funktion \(\mu{(r)}\) heißt Vergleichsfunktion zu einer Funktion \(\nu{(r)}\), wenn \(\mu{(r)}\) folgende drei Eigenschaften besitzt: 1. \(\mu{(r)}>\nu{(r)}\) für alle Werte von \(r\), 2. \(\mu{(r)}<\nu{(r)}^{1+\varepsilon}\) für unendlich viele ins Unendliche wachsende Werte von \(r\); dabei bedeutet \(\varepsilon\) eine positive kleine Zahl, die sich mit wachsendem \(r\) der Null nähert, 3. \(\mu{(r)}\) hat monotone Tangenten, d. h. die Tangenten nehmen niemals zu oder niemals ab.
Konstruiert man nun zu einer beliebig vorgegebenen Funktion \(\nu{(r)}\), die stetig ist und im Endlichen nicht unendlich wird, eine solche Vergleichsfunktion, so ergeben sich zwei verschiedene Typen von Funktionen: solche von konvexem, und solche von konkavem Typus. Eine Funktion ist von konvexem Typus, wenn \(\underset{r=\infty}{\text{L sup}}\,frac{\nu(r)}{r}=\infty\), und sie ist von konkavem Typus, wenn \(\underset{r=\infty}{L sup} \frac{\nu{(r)}}{r}=g\), wobei \(g\) eine endliche Zahl, die Null eingeschlossen, bedeutet.
Auf Grund der Theorie dieser Vergleichsfunktionen gelingt es dem Verf., alle Sätze und Beweise der Theorie der ganzen transzendenten Funktionen von unendlich hoher Ordnung klar und scharf zu fassen und am Schlusse einen strengen und einwandfreien Beweis für das von Bord verallgemeinerte Picardsche Theorem zu erbringen, das er als Picard-Borelsches Theorem bezeichnet.
Von den beiden Funktionentypen werden in der vorliegenden Arbeit nur die Funktionen von konvexem Typus behandelt; die Theorie der Funktionen von konkavem Typus ist deshalb weggelassen worden, weil die Methoden zur Behandlung der letzteren wenn auch teilweise abweichend, so doch einfacher zu handhaben sind. Die aufgestellten Sätze sind aber stets als allgemeingültig ausgesprochen worden.
Die Gliederung der Untersuchung ergibt sich aus folgender Übersicht: A. Theorie der Vergleichsfunktionen. B. Ordnung und Konvergenzexponent. C. Sätze über kanonische Produkte. D. Schluß vom Maximum einer Funktion auf ihr Minimum. E. Picard-Borelsches Theorem.