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Über die Moduln der Thetafunktionen. (German) JFM 34.0506.03
Der Verf. hat früher (vgl. F. d. M. \( 20\), 488, 1888, JFM 20.0488.02) diejenige Relation aufgestellt, welche im Falle \(p=4\) zwischen den zehn Moduln einer Riemannschen Thetafunktion besteht. Diese Relation ist eine algebraische Gleichung achten Grades zwischen den Nullwerten von 24 geraden Thetafunktionen. Da diese 24 Funktionen auf sehr viele (240975) Weisen ausgewählt werden können, so erhält man ebensoviele verschiedene Relationen, welche aber alle untereinander äquivalent sein müssen. Diese Äquivalenz dadurch nachzuweisen, daß man für die Thetanullwerte algebraische Ausdrücke von neun Parametern setzt, welche die sämtlichen Relationen identisch erfüllen, war nicht möglich; dagegen gelingt dem Verf. der gewünschte Nachweis dadurch, daß er zu den 136 Nullwerten \(\theta_m\) der geraden Thetafunktionen noch 120 den ungeraden Thetafunktionen entsprechende Größen \(u_m\) hinzunimmt, so daß jetzt zwischen den \(\theta_m\) und \(u_m\) ein Gleichungensystem besteht, für das eine algebraische Lösung sich ungezwungen ergibt.
Bevor Verf. an die Lösung dieser Aufgabe geht, gibt er in den \(\S\S\) 1 und 2 eine kurze Charakteristikentheorie, in \(\S\) 3 eine Theorie der Thetarelationen für die Fälle \(p = 1, 2, 3\). In dieser macht er insbesondere darauf aufmerksam, daß seine für den Fall \(p = 4\) gefundene Relation sich in bemerkenswerter Weise an die Relationen zwischen den Thetanullwerten der Fälle \(p = 1, 2, 3\) anschließt, indem alle in der Form: \[ \theta_1^n+\theta_2^n+\theta_3^n \equiv 0 \] dargestellt werden können, wo:
im Falle \(p = 1: n = 4\) und jedes \(\theta\) eine einzelne Thetafunktion,
im Falle \(p = 2: n = 2\) und jedes \(\theta\) ein Produkt von 2 Thetafunktionen,
im Falle \(p = 3: n = 1\) und jedes \(\theta\) ein Produkt von 4 Thetafunktionen,
im Falle \(p = 4: n = \frac 12\) und jedes \(\theta\) ein Produkt von 8 Thetafunktionen
ist, deren Charakteristiken stets eine Göpelsche Gruppe bilden.

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References:
[1] Eigentlich folgt aus unsern Formeln nur, dass diese Produkte proportional {\(\pm\)}A {\(\alpha\)}2 sind. DassA {\(\alpha\)}2=+Pa45 Pa46 Pa56 gesetzt werden darf, ergiebt sich daraus, dass die Vorzeichen in der Gleichung \(\sum\limits_{a = 1}^3 {\left( { \pm p_{a45} p_{a46} } \right)} = 0\) übereinstimmen mit den drei ersten Vorzeichen der Gleichung \(\sum\limits_{a = 1}^4 {\left( { \pm p_{a56} P_a } \right)} = 0\) , was leicht zu beweisen ist.
[2] In Bezug auf die Vorzeichen gilt hier dasselbe wie in der entsprechenden Betrachtung für {\(\rho\)}=3.
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