×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sopra una nuova estensione delle funzioni sferiche di Legendre. (Italian) JFM 34.0510.01
Während der Verf. in einer früheren Arbeit (vgl. das vorhergehende Referat (JFM 34.0509.01)) diejenigen Verallgemeinerungen der Kugelfunktionen untersucht hatte, die sich ergeben, wenn man in der Laplaceschen Gleichung \(\varDelta_2f = 0\) die Zahl der unabhängigen Variabeln beliebig groß nimmt, betrachtet er hier eine Verallgemeinerung anderer Art, die dadurch entsteht, daß im dreidimensionalen Raume die Operation \(\varDelta_2\) \(q\)-mal wieder holt wird. Als \(q\)-fach harmonische Funktionen \(n\)-ten Grades werden sonach die homogenen ganzen Funktionen \(f_n(x, y, z)\) definiert, die der Gleichung \[ \varDelta_2^q f_n=0 \] genügen, wobei zunächst \(n \geqq 2 (q - 1)\) anzunehmen ist. Allgemein läßt sich dann die Funktion \(f_n\) so darstellen: \[ f_n=\frac{\partial^n r^{2q-3}}{\partial x^\alpha \partial y^\beta \partial z^\gamma} \qquad (\alpha+\beta+\gamma=n,\quad r^2=x^2+y^2+z^2). \] Für Punkte der Kugel vom Radius \(r = 1\) folgt daraus, wenn man \(\beta=0\), \(\gamma=0\) setzt, daß es nur eine \(q\)-fach harmonische Funktion \(n\)-ten Grades mit einer Veränderlichen gibt, die nach Hinzufügung des konstanten Faktors \(1/\varPi(n)\) den Wert hat: \[ {(1)}\qquad X_n^q=\frac{1}{\varPi(n)}\;\frac{\partial^n(x^2+\lambda^2)^{\frac 12(2q-3)}}{\partial x^n}\,, \] worin, nach Ausführung der partiellen Differentiation nach \(x\), \(\lambda^2=1-x^2\) zu setzen ist. Man erkennt daraus, daß \(X_n^q\) der Koeffizient von \(\alpha^n\) bei der Entwicklung von \[ (1-2 \alpha x + \alpha^2)^{\frac 12(2q-3)}, \] also ein spezieller Fall einer vielfach (namentlich von Gegenbauer) untersuchten Klasse von Funktionen ist. Diese Funktion \(X_n^q\), deren oberer Index \(q\) der Einfachheit wegen im folgenden fortgelassen werden soll, hat nun Eigenschaften, die denen der einfachen Kugelfunktionen \((q = 1)\) ganz analog sind und der Reihe nach entwickelt werden. Wir führen die wesentlichsten derselben kurz an, ohne die einzelnen Formeln mitzuteilen, da das zu viel Raum beanspruchen wurde. Für \(X_n(x)\) wird aufgestellt die Potenzreihe ferner für \(x=\cos \gamma\) die nach Kosinus der Vielfachen von \(\gamma\) fortschreitende Reihe, die Darstellung von \(X_n(x)\) als \((n+2-2q)\)-ter Differentialquotient von \((x^2-1)^{n+1-q}\), resp. als \((2q-n-2)\)-faches Integral dieser Funktion, falls \(n < 2 (q - 1)\), die der Dirichletschen und der Laplaceschen Integraldarstellung der Kugelfunktionen entsprechenden Formeln. Dabei ist zu bemerken, daß \(X_n(x)\) sich nicht durch ein einziges Integral, sondern durch eine Summe von Integralen der Laplaceschen Form darstellen läßt, deren jedes in einer Potenz von \(x\) multipliziert ist.
Weiter wird (Kap. 2) die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung aufgestellt, der \(X_n\) genügt. Für das zweite partikulare Integral \(Q_n^q\) dieser Gleichung ergibt sich eine nach fallenden Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihe, die für \(|x| > 1\) konvergiert. Diese Reihe entsteht, abgesehen von dem konstanten Faktor, aus der Reihe für \(X_n\), wenn man darin \(2q - n - 3\) an Stelle von \(n\) setzt. Daraus geht hervor, daß für \(n \geqq 2(q-1)\) die Funktion \(Q_n\) nie einer Funktion \(X_m\) (mit anderem Index) gleich werden kann, während für Werte von \(n<2(q-1)\) die Funktion \(Q_n\) mit \(X_m\) identisch ist, falls \[ m=2q-3-n. \] Für die \(X_n\) und \(Q_n\) werden ferner folgende Rekursionsformeln abgeleitet: Setzt man \[ R_n=AX_n+BQ_n, \] wo die Konstanten \(A\) und \(B\) von \(n\) unabhängig sind, so ist \[ \begin{aligned} & \frac{dR_n}{dx}=x\;\frac{dR_{n-1}}{dx}+(n+2-2q)R_{n-1}, \\ & \frac{dR_{n-1}}{dx}=x\;\frac{dR_n}{dx}-nR_n.\end{aligned} \] Diese Rekursionsformeln definieren zusammen mit der Gleichung \(X_0=1\) alle \(X_n\) vollständig, ebenso alle \(Q_n\) für \(n \geqq 2(q-1)\), falls man den konstanten Faktor von \(Q_n\) passend bestimmt. Andere Rekursionsformeln betreffen die Funktionen \(X\) mit verschiedenem \(q\), und zwar ist \[ X_{n^q}=\frac{2q-3}{n+3-2q}\;(x X_{n-1}^{q-1}-X_n^{q-1}),\quad \frac{d^{q+1}(X_{n+1}^{q+1})}{dx^{q+1}} = (1-2q)X_n^q. \] Von sonstigen Eigenschaften der Funktionen \(X_n\), die noch zur Erörterung gelangen, erwähnen wir, daß für \(q>1\), \(n \geqq 2(q-1)\) \(X_n^q{(1)}=0\) ist, daß ferner für die Wurzeln von \(X_n^q=0\) dann ähnliche Sätze gelten wie für die Nullstellen der Kugelfunktionen.
Ein Analogon zu den Integralsätzen der Kugelfunktionen bildet die Gleichung \[ \int_{-1}^{+1} (1-x^2)q^{-1} X_nX_mdx=0 \qquad [n \geqq m;\quad n,m \geqq 2(q-1)], \] während für \(n=m \geqq 2(q-1)\) das Integral den Wert hat: \[ \frac{\varPi(2q-2)\varPi(n-2q+2)}{2^{2q-3}(2n+3-2q)\varPi (q-1)( \varPi (q-1)(2q+1) 2q \dots n}\,; \] daneben gilt die Gleichung \[ \int_{-1}^{+1} X_nX_mdx=0 \quad [n-m>2(q-1)], \] während dasselbe Integral, zwischen \(-1\) und \(+2\) genommen, für den Fall \(n-m=2(q - 1)\) einen von Null verschiedenen Wert hat. Für die Funktion \(Q\) endlich wird noch folgende Integraldarstellung angegeben: \[ Q_{2q-2}=\frac{1}{aA}\;(x^2-1)^{q-1} \int_\infty^x\;\frac{dx}{(x^2-1)^q}, \] während zugleich \[ X_{2q-2}=a(x^2-1)^{q-1}; \] ferner: \[ Q_n=\frac{1}{a^2A}\;X_n \int_\infty^x\;\frac{dx}{(x^2-1)^q} + \frac{1}{(2q-1)aA}\;\varphi(x), \] wo \(\varphi(x)\) eine ganze Funktion vom Grade \(n + 1 - 2q\) bezeichnet, \(a\) und \(A\) gewisse nur von \(q\) abhängige konstante Größen.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Heine,Ueber einige bestimmte Integrale (Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXI), eDie speciellen Lamé’ schen Functionen erster Art von beliebiger Ordnung (Ibid, LXII).Tonelli,Ueber aie Potentialfunction in einem mehrfach ausgedenhuten Raume (Nach. von Gesellschaft zu Göttingen).Mehler,Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabein nach Laplace’schenFunctionen höherer Ordnung (Jour. für die reine und ang. Math., LXVI).Clebsch,Ueber eine Eigenschaft der Kugelfunctionen (Ibid, LX).Giulotto,Sulle funzioni sferiche simmetriche del campo ad N dimensioni (Giornale di Battaglini, vol. 39).
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.