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Séparation analytique d’un système de rayons incidents et réfléchis. (French) JFM 34.0705.01

Die zwei Flächenfamilien, welche resp. normal sind zu den Kongruenzen eines Systems einfallender und zurückgeworfener Strahlen, sind die beiden Mäntel der Enveloppe einer Kugel, deren Mittelpunkt sich auf der reflektierenden Fläche bewegt. Die beiden Mäntel sind analytisch trennbar unter anderem, wenn die reflektierende Fläche der Ort der Mitte einer Strecke \(CC_1\) ist, deren Endpunkte sich auf zwei Kurven bewegen, und wenn der Radius der beweglichen Kugel gleich der halben Summe oder Differenz der von festen Punkten an bis \(C\), resp. \(C_1\) gezählten Bogen dieser Kurven ist. Die Trennung der Mäntel hängt gleichzeitig von der Trennbarkeit der durch einen Kurvenpunkt gehenden isotropen Tangentialebenen ab, also auch von der Lösung der Differentialgleichung, welche den Bogen einer Kurve seinem Werte nach bestimmt. Es ergibt sich, daß die Koordinaten der Kurven, auf denen \(C\) und \(C_1\) liegen, rationale Funktionen der Bogenlängen sein müssen. Als Beispiel erwähnt der Verf. die Strahlen parallel zur Achse eines gleichseitigen Paraboloids, welche nach ihrer Zurückwerfung durch diese Fläche das Normalensystem einer Dupinschen Zyklide bilden. Dieses Resultat veranlaßt den Verf., allgemein zu untersuchen, in welchen Fällen bei der Zurückwerfung ein Parallelstrahlenbüschel auftritt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML