×

On the partial differential equations of mathematical physics. (English) JFM 34.0827.01

Ausgehend von der Darstellung der reziproken Entfernung zweier Punkte \([x, y, z; a, b, c]\) durch das bestimmte Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{du}{z-c+i(x-a)\cos u + i(y-b)\sin u}\,, \] gelangt der Verf. zu folgender Lösung der Laplaceschen Gleichung \(\varDelta V=0\): \[ {(1)}\qquad V=\int_0^{2\pi} f(z+ix\cos u+ iy \sin u,u)du, \] worin \(f\) eine willkürliche Funktion zweier Argumente bezeichnet. Daß {(1)} die allgemeinste Lösung von \(\varDelta V=0\) ist, wird dadurch bewiesen daß ein in der Umgebung des Punktes \(x_0,y_0,z_0\) regulärer Zweig von \(V\) eine Entwicklung zuläßt, die mittels der Integraldarstellung der Kugelfunktionen in die obige Form gebracht werden kann. Weiter wird gezeigt, daß eine Reihe bekannter partikularer Lösungen der Laplaceschen Gleichung in obiger Form enthalten ist, so insbesondere die einzelnen Glieder der das Potential einer Kugel darstellenden Reihe, sowie die Funktion \[ e^{kz} J_m(k \varrho) \begin{cases} \cos (m \varphi) \\ \sin (m \varphi) \end{cases} , \] wo \(\varrho,\varphi\) in der Ebene \(x\), \(y\) bezeichnen. Auch folgende Reihenentwicklung für \(V\) läßt sich aus {(1)} ableiten: \[ V=\tfrac 12 + \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} + \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+2ni \pi)^2}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-2ni\pi)^2}} \right\}\,. \] Eine analoge Betrachtung ergibt, daß die allgemeine Lösung der Differentialgleichung für die Wellenbewegung: \[ \text{(a)} \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = k^2\;\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}\,, \] in der folgenden, von der bekannten Poissonschen Lösung verschiedenen Form dargestellt werden kann: \[ {(2)}\qquad V=\int_0^{2\pi} \int_0^\pi f(x \sin u \cos v + y \sin u \sin v + z \cos u + \tfrac tk,u,v) dudv, \] wo \(f\) eine willkürliche Funktion dreier Argumente ist. Drückt man die in {(2)} auftretende willkürliche Funktion mittels des Fourierschen Satzes aus, so folgt ferner, daß die allgemeine Lösung der Gleichung (a)angesehen werden kann als bestehend aus ebenen Einzelwellen von dem Typus \[ F(\lambda,u,v)\;\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \left\{ \lambda( x \sin u \cos v + y \sin u \sin v+ z \cos u + \tfrac tk ) \right\} . \] Auch die allgemeine Lösung der Gleichung \[ \text{(b)} \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} + V = 0 \] kann man unmittelbar aus {(2)} ableiten, sie ist: \[ (3)\qquad V=\int_0^{2\pi} \int_0^\pi e^{i(x \sin u \cos v + y \sin u \sin v + z \cos u)} f(u,v) du\,dv. \] Es folgt der Nachweis, daß die bekannte Lösung von (b): \[ V=r^{-\frac 12} J_{n+\frac 12}{(r)} P_m^n(\cos \vartheta) \begin{cases} \cos(m \varphi) \\ \sin(m \varphi) \end{cases} , \] in (3) enthalten ist, sowie daß man die allgemeine Lösung von (b) die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty\;r^{- \frac 12}\,J_{n+ \frac 12} {(r)} Y_n(\vartheta, \varphi) \] entwickeln kann. Eine andere Entwicklung der allgemeinen Lösung von (b) erhält man durch Einführung der verallgemeinerten Besselschen Funktion: \[ J_{m,n}(x,y,z)=\frac{1}{4 \pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-miu-niv+ix \sin u \cos v + iy \sin u \sin v + iz \cos u} du\,dv, \] nämlich \[ V=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\;\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\;a_{m,n} J_{m,n} (x,y,z), \] wo die \(a_{m,n}\) willkürliche Konstanten sind.
Zum Schluß erörtert der Verf., daß man auf Grund der oben angegebenen Zerlegung der allgemeinen Lösung von (a) in Einzelwellen auch die Gravitation ansehen kann als entstanden aus longitudinalen Wellen, die sich mit sehr großer Geschwindigkeit in einem Medium fortpflanzen.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML Link