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Bemerkung zur goniometrischen Lösung der quadratischen Gleichungen. (German) JFM 35.0114.02
Wenn \(p\) und \(q\) positive Zahlen sind, so setze man, um die Gleichung \(x^2 + px - q = 0\) zu lösen, \(x_1 = \sqrt q \cdot \text{cot}\, \varphi\), \(x_2 = - \sqrt q \cdot \text{tg\,} \varphi\), so muß, wegen \(x_1 + x_2 = - p\), \(\text{cot}\, 2 \varphi = - p/2 \sqrt q\) sein. Zur Lösung von \(x^2 + px + q = 0\) setze man \(x_1 = \sqrt q \cdot \text{cot\,} \varphi\),\(x_2 = \sqrt q \cdot \text{tg\,}\varphi\), \({\sin} 2 \varphi = - 2 \sqrt {q}/p\). Im Falle imaginärer Wurzeln nehme man \[ x_1 = \sqrt q ({\cos} \varphi + i {\sin} \varphi), \quad x_2 = \sqrt q ({\cos}\varphi - i {\sin} \varphi), \quad {\cos} \varphi = - p/2 \sqrt q. \] Zur entsprechenden geometrischen Lösung gelangt man, indem \(p\) als Hypotenuse, \(\sqrt q\) als Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird; dann sind die Abschnitte der Hypotenuse die Wurzeln der Gleichung \(x^2 - px + q = 0.\)