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Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque. Nota. (Italian) JFM 35.0145.01
Ven. Ist. Atti 63 [(8) 6], 1233-1239 (1904).
Vgl. die voraufgehende Arbeit (F. d. M. 33, 680, 1902, JFM 33.0680.02). Seien \(\varphi = \sum_1^n a_{rs} dx_r dx_s \) eine positive quadratische Differentialform, \( a^{(pq)}\) die Koeffizienten der reziproken Form, \( a_{pr, qs}\) die auf \(\varphi\) bezüglichen Riemannschen Symbole. Unter \(V_n\) werde irgend eine Mannigfaltigkeit verstanden, deren metrische Geometrie (“Metrik”) durch \(\varphi\) charakterisiert ist, und unter \( [1], [2], \dots, [n]\) \(n\) Kurvenkongruenzen, die ein \(n\)-fach orthogonales System in \(V_n\) bilden. Endlich sei \(\alpha_{rs} = \sum a^{(pq)} a_{pr, qs}\) auf eine invariante Form gebracht, mit Koeffizienten \(\varrho_h\) \((h = 1, \dots, n)\). Die zu solchen \(\alpha_{rs}\) gehörigen \(n\)-fachen Systeme von \(V_n\), Kongruenzen, Richtungen, Invarianten werden als “fundamentale” bezeichnet. Den fundamentalen Richtungen entsprechen maximale und minimale mittlere Krümmungen.
Für \(n = 2\) gilt einfach \(\alpha_{rs} = K a_{rs}\), wenn \(K\) die Gaußsche Invariante der \(V_2\) ist. Hier kann jede Richtung als fundamentale ausgesehen werden, und die fundamentalen Invarianten fallen alle mit \(K\) zusammen.
Im Falle \(n = 3\) setze man \[ \alpha \beta^{(rs)} = a_{r + 1, r + 2; s + 1, s + 2}, \quad 3 K = \sum_1^3 a_{pq} \beta^{(pq)}; \] dann wird \(\alpha_{rs} = 3 K a_{rs} - \beta_{rs} \), und wenn \(\omega_h\) \((h = 1, 2, 3)\) die invariantiven Koeffizienten von \(\beta_{rs}\) sind, so gilt \[ 3 K = \omega_1 + \omega_2 + \omega_3, \quad \varrho_h = \omega_{h + 1} + \omega_{h + 2}, \] wo die Indizes mod.3 zu nehmen sind. Entsprechende Formeln existieren im allgemeinen Falle. Es werden dann die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß die Riemannschen Koeffizienten als zweireihige Minoren einer symmetrischen Determinante angesehen werden können.