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On the invariants of quadratic differential forms, II. (English) JFM 35.0150.01
Über die voraufgehende Arbeit des Verf. vgl. F. d. M. 34, 142, 1903, JFM 34.0142.01. Es soll die Anzahl der Differentialparameter von quadratischen Differentialformen in \(n\) Variabeln bestimmt werden. Die Form \[ \varPhi \equiv \sum_i \sum_k\;a_{ik} (x_1, \dots, x_n) \; dx_i dx_k \] wird der Transformationsgruppe \[ Xf \equiv \sum_{r = 1}^n\;\xi_r(x_1, \dots, x_n) \frac {\partial f}{\partial x_r} \] unterworfen. Ein Differentialparameter von \(\varPhi\) ist eine Funktion, die den Transformationen der Gruppe gegenüber invariant bleibt und folgende Größen enthält: a) die \( a_{ik} \) und deren Ableitungen beliebiger Ordnung nach den \( x \) ; b) gewisse willkürliche Funktionen \(U(x_1, \dots, x_n) \) , die bei der Gruppe numerisch ungeändert bleiben, und deren beliebige Ableitungen nach den \( x \) ; c) im Falle, daß die \( x \) nicht alle unabhängig sind, die Ableitungen der abhängigen nach den unabhängigen. Enthält ein Differentialparameter weder die \(U\), noch die \(\frac {\partial U}{\partial x_i}, \cdots \) , noch die \(\frac {\partial x_i}{\partial x_k}, \cdots \) , so heißt er eine Differentialinvariante. Enthält ein Differentialparameter die \( \frac {\partial x_i}{\partial x_k},\cdots \) nicht, so heißt er ein solcher erster Art (Beltramischer), enthält er die \( U \) und \( \frac {\partial U}{\partial x_i}, \cdots \) nicht, ein solcher zweiter Art (Mindingscher).
Die Ordnung \( \mu \) einer Differentialinvariante ist die Ordnung der höchsten Ableitung eines \( a_{ik} \), die Ordnung \(\mu\) eines Differentialparameters ist die Ordnung der höchsten Ableitung eines \( U \) oder \( x \) . Dann zeigt sich zunächst, daß Differentialparameter der zweiten Art stets ausdrückbar sind durch Differentialparameter der ersten Art; daß aber nicht alle der ersten Art auch von der zweiten Art sind.
Dann werden durch Diskussion der vollen Systeme linearer partieller Differentialgleichungen, deren Lösungen die Differentialparameter sind, folgende Anzahlen abgeleitet.
Für die Parameter erster Art der Ordnung \( \mu \) gilt: Ihre Anzahl beträgt bei \(\mu = 1:\) \[ \frac {m (m + 1)}{2}, \;\text{ resp. } \;mn - \frac {n (n - 1)}{2}, \] je nachdem \(m \leqq n\), oder \(m \geqq n \) , desgleichen bei \(\mu = 2:\) \[ \frac {mn(n + 1)}{2} - \frac {(n - m)(n - m -1)}{2}, \;\text{ resp. } \;\frac {mn(n + 1)}{2}; \] bei \( \mu = 3:\) \[ \frac {mn(n + 1)(n + 2)}{6} + \frac{n(n-1)}{2}\,; \] endlich bei \(\mu \overset{=}> 4:\) \[ \frac {m(n + \mu - 1)!}{(n - 1)!}\,. \] Dabei bedeutet \(m\) die Anzahl der \(U.\)
Für die Parameter zweiter Art von der Ordnung \(\mu\) sind die Anzahlen: 0 bei \(\mu =1\); bei \(\mu = 2:\) \[ \frac {m(m + 3)(m^2 - m + 2)}{8},\quad \text{resp}. \quad (n - m) \left\{ m + \frac {m(m + 1)}{2} \right\} - \frac {n(n -1)}{2}, \] je nachdem \(\frac {m (m + 3)}{2} \leqq n \) oder \( \geqq n \); desgleichen bei \(\mu = 3:\) \[ (n - m) \;\frac {m(m + 1) (m+ 2)}{6} + \frac {m (m + 3)}{2} \cdot \left\{n - \frac {(m + 1) (m + 2)}{4}\right\}, \] \[ \text{resp}. \;(n - m)\;\frac {m(m + 1)(m + 2)}{6} + \frac {n (n - 1)}{2}; \] endlich bei \(\mu \geqq 4:\) \[ (n - m) \;\frac {(m + \mu - 1)!}{(m- 1)! \mu !}\,. \] Hier bedeutet \(n - m\) die Anzahl der festen Relationen zwischen den \(x.\)
Die Methode stellt sich als eine naturgemäße Erweiterung der in der voraufgehenden Abhandlung des Verf. (s. o.) angewandten dar.

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