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Memoir on Abelian transformation. (English) JFM 35.0166.01

Der zu besprechende Aufsatz beschäftigt sich mit der Verteilung aller Operationen der linearen Abelschen Gruppe mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper in Klassen konjugierter. Unter der linearen Abelschen Gruppe ist hierbei die Gesamtheit aller linearen homogenen Substitutionen mit Koeffizienten aus einem Körper, oder wie die Amerikaner sagen, Feld \(F\) zu verstehen, welche die bilineare Form: \[ \sum_{i = 1}^{i = m} (x_{2i - 1} y_{2i} - x_{2i} y_{2i - 1}) \] mit kogredienten Variablenpaaren \(x_i, y_i\) in sich transformieren; diejenigen Substitutionen, welche die Form absolut invariant lassen, bilden die spezielle Abelsche Gruppe \(SA(2m, F)\). Verf. behandelt sein Problem für den Fall \(m = 1\) im \(\S 1\). Der Fall \(m = 2\) ist bereits von ihm für den Galoisschen Körper \(GF [p^n]\) in American M. S. Trans 2, 103-138 (1901) behandelt worden. “Die vorliegende Arbeit sucht eine systematische allgemeine Methode der Behandlung für einen beliebigen Körper zu geben und die gewünschten numerischen Resultate für \(m = 3\) und das Galoissche Feld \(GF[p^n]\) in vollständiger Form vorzuführen. Die Arbeit gibt für \(m = 2\) eine Verallgemeinerung der kanonischen Formen auf den Fall eines beliebigen Körpers, wiederholt jedoch nicht die numerischen Resultate der Arbeit in den Transactions.” Ist \(F\) das \(GF[2]\), so ist die senäre spezielle Abelsche Gruppe \(SA[6,2]\) holoedrisch isomorph mit der einfachen Gruppe der Ordnung 1451520, die bei der Behandlung der Gleichung der 28 Doppeltangenten einer allgemeinen Kurve vierter Ordnung auftritt; für sie gibt Verf. zum Schlußeine Tabelle, die für jede Klasse konjugierter Elemente die Anzahl der Elemente, einen Repräsentanten \(R\) sowie die Zahl der mit \(R\) vertauschbaren Gruppenelemente angibt.

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