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The subgroups of order a power of 2 of the simple quinary orthogonal group in the Galois field of order \(p^n = 8l \pm 3\). (English) JFM 35.0167.01

Die Gruppe aller quinären orthogonalen Substitutionen der Determinante 1 im Galoisschen Felde \(GF [p^n]\), \(p > 2\), hat eine Untergruppe \(O_{\varOmega}\) des Index 2, die einfach ist und die Ordnung \[ \tfrac 12 \,p^{4n} (p^{4n} - 1) (p^{2n} - 1) \] besitzt. (Vgl. L. E. Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois field theory, Leipzig 1901, S. 191). Die höchste Potenz von 2, welche die Ordnung von \(O_{\varOmega}\) teilt, ist, falls \(p^n = 8l \pm 3\) ist, und auch nur dann, gleich \(2^6\). Nach dem Sylowschen Satze sind daher alle Untergruppen der Ordnung \(2^6\) konjugiert. Verf. beweist vorzüglich das bemerkenswerte Resultat, daßdie Anzahl der verschiedenen nicht konjugierten Untergruppen der Ordnung \(2^{\lambda}\), welche die Gruppe \(O_{\varOmega}\) besitzt, für \(\lambda = 1, 2, 3, 4, 5\) nicht von \(p\) und \(n\) abhängt, falls \(p^n = 8l \pm 3\) ist. In \(O_{\varOmega}\) gibt es 3 verschiedene Klassen konjugierter Untergruppen der Ordnung 32, 6 der Ordnung 16, 9 der Ordnung 8, 6 der Ordnung 4 und 2 der Ordnung 2. Verf. bestimmt ferner die größte Untergruppe der Gruppe \(O_{\varOmega}\), in der eine Gruppe der Ordnung \(2^{\lambda}\) invariant ist. Abgesehen von den Untergruppen der Ordnungen 2, 4 und gewissen Typen der Ordnung 8, ist die Ordnung der größten Untergruppe, in der eine Untergruppe der Ordnung \(2^{\lambda}\) invariant ist, von \(p\) und \(n\) unabhängig.

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