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Application of groups to a complex problem in arrangements. (English) JFM 35.0168.02

Das behandelte Anordnungsproblem ist folgendes: Man sucht \(\frac 12(m - 1) (m - 2)\) Anordnungen von \(m\) Personen an einem runden Tisch, so daßkeine von ihnen zweimal zwischen den gleichen zwei Nachbarn zu sitzen kommt. Gibt man den Anordnungen die Bezeichnung \(ABC \dots LM\), so daßalle Anordnungen mit demselben Buchstaben \(A\) beginnen, und betrachtet neben jeder rechtshändigen Anordnung \(ABC \dots LM\) die für das Sitzen am runden Tische nicht verschiedene linkshändige Anordnung \(AML \dots CB\), so haben wir \((m - 1) (m - 2)\) Anordnungen. Die Permutationen, die die gesuchten Anordnungen hervorbringen, bilden eine zweifach transitive Gruppe, da man die Anordnung \(AX \dots Y\), wobei \(X\) und \(Y\) willkürlich sind, hat. Da diese zweifach transitive Gruppe die Ordnung \((m - 1)(m - 2)\) hat und sich auf \( m - 1 \) Buchstaben bezieht, muß\( m - 1 = p^n \) sein, wobei \(p\) eine Primzahl ist. Außer für \(p^n = 3^2\) gibt es nur einen Typus zweifach transitiver Gruppen \(G_{p^n(p^n - 1)}^{p^n}\), die durch \(z' = az + b\), wobei \(a\) und \(b\) dem Galoisschen Körper \(GF[p^n]\) angehören, definiert werden. \(p^n = 4, 5, 7, 9\) und 11 werden als Beispiele behandelt. Die für \(p^n = 5\) gruppentheoretisch gefundene Lösung stimmt mit der von Judson im American Mathematical Monthly, 1900, p. 72 gegebenen überein. Für \(p^n = 5\) hat man folgende 10 Anordnungen: \[ \left.\begin{matrix} \infty, & 0, & 1, & 4, & 2, & 3 \\ \infty, & 0, & 4, & 1, & 3, & 2 \\ \infty, & 0, & 2, & 3, & 4, & 1 \\ \infty, & 0, & 3, & 2, & 1, & 4 \\ \infty, & 1, & 3, & 4, & 0, & 2 \end{matrix} \quad \right|\quad \begin{matrix} \infty, & 1, & 2, & 0, & 3, & 4 \\ \infty, & 1, & 0, & 2, & 4, & 3 \\ \infty, & 4, & 2, & 1, & 0, & 3 \\ \infty, & 4, & 0, & 3, & 1, & 2 \\ \infty, & 2, & 4, & 0, & 1, & 3. \end{matrix} \]

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