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Two systems of subgroups of the quaternary Abelian group in a general Galois field. (English) JFM 35.0169.02

Die Gruppe \(G_{\omega}\), gebildet aus dem \(\omega = p^{4n} (p^{2n} - 1) (p^n - 1)\) Operatoren der homogenen quaternären Abelschen Gruppe in dem \(GF[p^n]\), \(p > 2\) , welche die Variable \(\eta_1\) mit einer Konstante multiplizieren, wird zunächst betrachtet. Die Gruppen \(G_{p^{3n}}\) und \(G_{p^{3n}(p^n - 1)}\) erweisen sich als selbstkonjugiert unter \(G_{\omega}\) . Die Quotientengruppe \(G_{\omega}/G_{p^{3n}(p^n - 1)}\) kann als die Gruppe \(\varGamma_{p^n(p^{2n} - 1)}\) der binären Substitutionen \(\left[\begin{matrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{matrix} \right]\) konkret genommen werden. Einer Untergruppe der Ordnung \(\mu\) der letzteren entspricht eine Untergruppe der Ordnung \(\mu p^{3n}(p^n - 1)\) von \(G_{\omega}.\)
Die Verhältnisse werden erläutert an den Fällen \(p^n = 3\) und \(p^n = 5\) . Von den Einzelergebnissen seien die folgenden Theoreme erwähnt: Die Gruppe \(\varGamma_{120}\) aller binären Substitutionen von der Determinante 1 modulo 5 enthält neben der Identität und der selbstkonjugierten Substitution \(S_2\) ein System von 20 konjugierten Substitutionen von der Periode 3, ein System von 20 von der Periode 6, ein System von 30 von der Periode 4, zwei Systeme von je 12 von der Periode 5 und zwei Systeme von je 12 von der Periode 10. – Die Untergruppen von \(\varGamma_{120}\), mit Ausnahme von ihr selbst und der Identität, sind konjugiert mit \(C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, \varGamma_8, C_{10}, \varGamma_{12}, \varGamma_{20}, \varGamma_{24}\). Innerhalb \(\varGamma_{120}\) sind die größten Gruppen, in denen diese selbstkonjugiert sind: \(\varGamma_{120}, \varGamma_{12}, \varGamma_{18}, \varGamma_{20}, \varGamma_{12}, \varGamma_{24}, \varGamma_{20}, \varGamma_{12}, \varGamma_{20}, \varGamma_{24}\) bzw. Andere Einzelergebnisse müssen im Original nachgelesen werden.

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