On a transcendental function and its applications to the summation of some series. (Sur une fonction transcendante et ses applications à la sommation de quelques séries.) (French) JFM 35.0220.01

Voronoï, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 207-267 (1904); 21, 459-533 (1904).

Die Euler - Maclaurinsche Summenformel liefert eine Darstellung der Summe \(\sum\limits_n f(n)\), wo \(f(x)\) eine gegebene stetige und mehrmals differenzierbare Funktion der reellen Variable \(x\) ist und \(n\) die ganzen Zahlen eines gegebenen Intervalls durchläuft. Diese Formel ist nicht anwendbar auf Summen von der Gestalt: \[ \sum_n \tau(n)f(n),\tag{1} \] wo \(\tau(n)\) nur für ganzzahlige \(n\) definiert ist; man bedarf besonderer Methoden, um solche Summen mit Erfolg zu behandeln. Verf. gelangt zu dem Satze, den er für alle \(\tau(n)\) ausspricht und für den Fall beweist, daß \(\tau(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) bezeichnet:
Wenn \(f(x)\) im Intervall \(a\dots b\) stetig ist und nur endlich viele Maxima und Minima besitzt, so ist \[ \left\{\begin{aligned} \frac12\sum_{n>a}^{n\leq b} \tau(n)f(n) + \frac12\sum_{n\geq a}^{n<b} \tau(n)f(n) - \int_a^b f(x)\vartheta(x) dx\\ + \sum_{n-1}^\infty \tau(n) \int_a^b f(x)\alpha(nx)dx,\end{aligned}\right.\tag{2} \] wo \(\vartheta(x)\) und \(\alpha(x)\) zwei analytische Funktionen sind, die nur von der zahlentheoretischen Funktion \(\tau(n)\) abhängen.
Falls \(\tau(n)\) gleich der Teileranzahl von \(n\) ist, versteht Verf. unter \(\vartheta(x)\) und \(\alpha(x)\) die Funktionen \[ \begin{aligned} \vartheta(x) &- \log x + 2C,\\ \alpha(x) &- 2\{\xi(4\pi^2x) + \eta(4\pi^2x)\},\end{aligned} \] wo \(C\) die Eulersche Konstante bezeichnet und \(\xi(x)\), \(\eta(x)\) partikulare Integrale der bekannten Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} x\frac{d^2\xi}{dx^2} &+ \frac{d\xi}{dx} - \xi - 0,\\ x\frac{d^2\eta}{dx^2} &+ \frac{d\eta}{dx} - \eta - 0\end{aligned} \] sind. Speziell versteht Verf. unter \(\xi(x)\) diejenige Funktion, welche durch das bestimmte Integral \[ 2\int_1^\infty \frac{e^{-2t\sqrt x}}{\sqrt{t^2-1}}dt \] dargestellt werden kann; er nennt \(\xi(x)\) Ultraexponentialfunktion. Manche Eigenschaften von \(\xi(x)\) sind schon durch Riemann und Stieltjes bekannt; für seine Zwecke beweist Verf. noch u. a. die für \(R(s)>1\) gültige Gleichung: \[ \Gamma^2(s) - \int_0^\infty x^{s-1} \xi(x)dx. \] Unter \(\eta(x)\) versteht er die Funktion, die für \(x>0\) durch die Gleichung \[ \eta(x) - \lim_{\varrho-0} \frac{\xi(-x+\varrho i) + \xi(-x- \varrho i)}2 \] erklärt werden kann.
Die umfangreiche Untersuchung des Verf., bei der insbesondere die Theorie der Zylinderfunktionen zur Anwendung kommt, führt zum Beweise der Gleichung (2) und liefert für die Summe (1) noch eine andere Darstellung, welche eine Verallgemeinerung der sogenannten Poisson’schen Summationsformel bildet.

Reviewer: Landau, Prof. (Berlin)

MSC:

11N37	Asymptotic results on arithmetic functions
33B99	Elementary classical functions
26A06	One-variable calculus

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Voronoi sum formula; Poisson sum formula; arithmetic function; number of divisors; ultraexponential function