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Construction of class fields of arbitrary algebraic number fields. (Die Konstruktion des Klassenkörpers für beliebige algebraische Zahlkörper.) (German) JFM 35.0224.03
Nach mehreren Vorarbeiten (vgl. F. d. M. 34, 235-236, 1903, JFM 34.0235.04 and 34.0236.01) liefert Verf. nunmehr die vollständige Lösung des Hilbertschen Problems, die Existenz des Klassenkörpers für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper zu beweisen, d. h. eines in bezug auf den gegebenen Körper \(k\) mit der Klassenzahl \(h\) unverzweigten relativ Abelschen Körpers vom Relativgrade \(h\), dessen Relativgruppe der Gruppe der Idealklassen in \(k\) holoedrisch isomorph ist. Verf. befreit sich zunächst von der in seinen früheren Arbeiten gemachten einschränkenden Annahme, daß der Körper \(k\) eine \(l\)-te Einheitswurzel \(\zeta\) enthält, wo \(l\) einen ungeraden Primfaktor der Klassenzahl bezeichnet; dies gelingt durch Betrachtung des Körpers \(k' - (k,\zeta)\). Dadurch ist er imstande, nachzuweisen, daß für den gegebenen Körper mit der Klassenzahl \(h - ql^{h'}\) (\(q\) zu \(l\) prim) ein unverzweigter relativ Abelscher Körper vom Relativgrade \(l^{h'}\) existiert, dessen Relativgruppe mit der Untergruppe \(l^{h'}\)-ten Grades der Klassengruppe von \(k\) holoedrisch isomorph ist. Für \(l - 2\) ist die entsprechende Untersuchung schwieriger; Verf. gelangt auch hier zum Ziele, und zwar durch Heranziehung des Hilbertschen schärferen Äquivalenzbegriffes. Durch Vereinigung aller unverzweigten Relativkörper, die den in \(h\) aufgehenden Primzahlpotenzen entsprechen, entsteht der vollständige Klassenkörper. Im Schlußparagraphen behandelt Verf. speziell die imaginären quadratischen Grundkörper und die zugehörigen Klassenkörper, die in engstem Zusammenhang mit der Theorie der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen stehen. Er zeigt, daß die durch die singulären Worte des Moduls \(j\) definierten Körper identisch mit den konstruierten Klassenkörpern sind. Erstere sind also unverzweigt in bezug auf \(k\). Fueter (vgl. F. d. M. 34, 238, 1903, JFM 34.0238.01) hatte dies nur für die beiden Fälle des relativquadratischen und relativkubischen Körpers (auf anderem Wege) bewiesen.

MSC:
11R37 Class field theory
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
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