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Über die Adjunktion von Integralen linearer homogener Differentialgleichungen. (German) JFM 35.0329.01

Verf. beweist den Satz über die Adjunktion der “empfindlichen Funktion \(V\)”, das Fundament der Picard-Vessiotschen Theorie, für einen Rationalitätsbereich \(P\), der die unabhängige Variable nicht explizite zu enthalten braucht, also enger ist als der von Beke (Math. Ann. 46, 557, 1895) und Picard (Traité d’analyse 3, 531, 1896) beim Beweise dieses Satzes verwandte Bereich, und zeigt (§ 3), daß \(V\) so gewählt werden kann, daß es einer linearen homogenen Differentialgleichung mit Koeffizienten aus \(P\) genügt. Bei dem Beweise sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Koeffizienten der vorgelegten Differentialgleichung sämtlich konstant sind oder nicht. In § 1 werden für den Fall konstanter Koeffizienten zwei Beweise des obigen Satzes gegeben, deren einer von Stickelberger herrührt; im § 2 wird er für Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten bewiesen. Der Satz läßt sich kurz so aussprechen: Anstatt sämtliche Integrale einer linearen homogenen Differentialgleichung mit eindeutigen, in einem gemeinsamen Bereiche regulär analytischen Koeffizienten dem Rationalitätsbereiche \(P\) zu adjungieren, genügt die Adjunktion eines einzigen Integrals einer gewissen linearen homogenen Differentialgleichung mit Koeffizienten aus \(P\).
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References:

[1] E. Beke, Über die allgemeinste Differentialresolvente der homogenen linearen Differentialgleichungen. Math. Annalen, Bd. 46, S. 557 (1895). · JFM 26.0358.01
[2] E. Picard, traité d’analyse, t. 3, p. 531 (Paris 1896).
[3] Bei dieser Gelegenheit bemerke ich, daß meine Arbeit ?Über reduzible lineare homogene Differentialgleichungen? (Math. Ann. Bd. 56) stillschweigend die Annahme enthält, daßalle Konstanten dem Rationalitätsbereiche angehören. Ein Teil der Sätze erfordert jedoch nicht, wie ich bei anderer Gelegenheit zeigen werde, die Zugehörigkeitaller Konstanten zum Rationalitätsbereiche.
[4] Wie mich Herr Beke beim dritten internationalen Mathematiker-Kongresse im Gespräch freundlich aufmerksam machte, beschäftigt er sich mit der Wertbestimmung der Determinante ? in seiner Arbeit ?Über die Fundamentalgleichungen der homogenen linearen Differentialgleichungen? (15. Band der Math. und Naturw. Berichte aus Ungarn. 1898). (Nachschrift vom August 1904).
[5] Ludw. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen. II1, S. 60 (Leipzig, 1897.)
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