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An existence theorem for a differential equation of the second order, with an application to the calculus of variations. (English) JFM 35.0340.01
Picard (Traité d’Analyse III, 94-100) hat gezeigt, daß die Gleichung \(\eta'' = f(\xi,\eta,\eta')\) eine Lösung \(\eta = \eta(\xi)\) besitzt, welche zwei gegebene Punkte \(p\) und \(q\) verbindet, vorausgesetzt, daß \(f\) gewisse Stetigkeitsbedingungen erfüllt, und daß \(q\) in einem passend gewählten Bereich in der Umgebung des Punktes \(p\) liegt; die Integrationskonstanten sind dann die Koordinaten von \(p\) und \(q\). Verf. untersucht nun die Beschaffenheit der Lösung als Funktion dieser Koordinaten (§ 1) und dehnt Picards Theorem auf die Gleichung \(\frac1{\varrho} = G(x, y, x', y')\) aus, wo die Lösung in der Form (1) \(x = x(t)\), \(y = y(t)\) gedacht ist und \[ \frac1{\varrho} = \frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^\frac32} \] (§ 2). In § 3 wird hiervon eine Anwendung auf das Problem gemacht, das Integral \[ I = \int_{t_0}^{t_1} F(x, y, x', y')dt, \] längs einer Kurve von der Form (1) genommen, zu einem Minimum zu machen. Es wird gezeigt, daß ein endlicher geschlossener Bereich \(S\) der \((x,y)\)-Ebene und eine Konstante \(\delta>0\) gefunden werden können derart, daß irgend zwei Punkte von \(S\), deren Abstand kleiner als \(\delta\) ist, stets durch eine kontinuierliche Extremale des Problems mit stetig sich drehender Tangente verbunden werden können; und diese Extremale macht das Integral \(I\) zu einem Minimum. In seinen Vorlesungen über die Variationsrechnung (Sommer 1879) gebrauchte Weierstraß den ersten Teil dieses Resultates, um in der Umgebung eines gegebenen Punktes einen Bereich zu konstruieren. Das Theorem spielt auch eine wesentliche Rolle in den neueren Existenzbeweisen von Hilbert (Vorlesungen über die Variationsrechnung, 1900) und Noble (Diss. Göttingen 1901) in der Variationsrechnung, scheint aber bisher noch nicht bewiesen worden zu sein. In dem Beweise des Verf. in § 3 wird Hilberts Bezeichnung des invarianten Integrales auf das Problem der Variationsrechnung für Kurven in parametrischer Darstellung ausgedehnt.

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenrechnung. A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.
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