×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les équations différentielles linéaires réciproques du second ordre. (French) JFM 35.0341.01
Reziproke lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind dadurch charakterisiert, daß die Ableitung einer Lösung der einen dieser Gleichungen als Funktion der unabhängigen Veränderlichen der anderen Gleichung eine Lösung dieser letzteren ist: Aus \(\frac{d^2y}{dx^2} = f(x)y\) erhält man die reziproke Gleichung durch die Transformation \[ \frac{dx_1}{dx} = f(x)\qquad (x_1 = \varphi(x),\,x = \psi(x_1)),\quad y_1 = \frac{dy}{dx}; \] sie lautet \[ \frac{d^2y_1}{dx_1^2} = \frac1{f[\psi(x_1)]}y_1. \] Als Beispiel dient hauptsächlich die mit der Besselschen Gleichung in engem Zusammenhange stehende Differentialgleichung: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = [(2n - 1)x]^{-\frac{4n}{2n-1}}, \] deren reziproke Gleichung man, abgesehen vom Index 1, durch bloße Vertauschung von \(n\) mit \(-n\) erhält, so daß ihre Lösung durch bestimmte Integrale, aufgefaßt als Funktionen des Parameters \(x\), welche zunächst nur für positive \(n\) gilt, auch für negative \(n\) gelingt. Für ganzzahlige \(n\) sind die Integrale elementare Funktionen. — Es wird noch der Fall behandelt, daß die reziproke mit der ursprünglichen Differentialgleichung identisch ist, und zum Schluß wird die Untersuchung auf ein System zweier linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ausgedehnt.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML