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On functions generated by linear difference equations of the first order. (English) JFM 35.0347.01
Verf. zeigt, daß die Lösung der Differenzengleichung \[ P(x+1) - P(x) = \chi(x), \] wo \(\chi(x)\) eine eindeutige analytische Funktion ist, im allgemeinen nicht eine Lösung einer Differentialgleichung endlicher Ordnung und Dimension sein kann, es sei denn, daß entweder die Koeffizienten der letzteren durch Differentiation aus der Lösung selbst erhalten werden, oder daß man aus diesen Koeffizienten und der Funktion \(\chi(x)\) und ihren Ableitungen durch den fundamentalen Prozeß der Bildung endlicher Differenzen, verbunden mit einer endlichen Anzahl elementarer algebraischer Operationen, die Lösung selbst ableiten kann; dann gehören aber einige Koeffizienten der Differentialgleichung zu einem Funktionstypus, welcher die Lösung der Differenzengleichung umfaßt. Eine Ausnahme dieses allgemeinen Satzes bildet der Fall, daß die Koeffizienten der Differentialgleichung einfach periodische Funktionen von der Periode 1, also insbesondere auch Konstanten sind. Der Satz gilt auch für die allgemeinere Gleichung \[ P(x+1) - \psi(x)P(x) = \chi(x), \] wo \(\psi(x)\) und \(\chi(x)\) eindeutige analytische Funktionen sind. Das obige Theorem enthält als speziellen Fall das von Hölder (Math. Ann. 28, 1-13; vergl. auch Moore, Math. Ann. 48, 49 ff.) für die Gammafunktion bewiesene, welches vom Verf. auf die \(G\) und die Doppelgammafunktion ausgedehnt wurde (Quart. J. 31, 310-314; Lond. Phil. Trans. (A) 196, 384-387; F. d. M. 32, 442-443, 1901, JFM 32.0442.02). — Es ist bemerkenswert, daß die lineare Differenzengleichung erster Ordnung neue Transzendenten erzeugt, welche nicht, wie so viele Funktionen, durch Differentialgleichungen definiert werden können.

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenrechnung. B. Differenzenrechnung.
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