Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations. (French) JFM 35.0351.03

Vessiot, E.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 9-85 (1904).

Die Ausdehnung der Galoisschen Theorie von den algebraischen Gleichungen, auf partielle Differentialgleichungen ist bereits von Drach (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 15, 243-384; F. d. M. 29, 349, 1898, JFM 29.0349.06) versucht worden; wegen einiger Mängel in den Beweisen wird hier der Versuch in strengerer Form wiederholt. Die Arbeit ist in vier Kapitel gegliedert; im ersten wird in durchaus analytischer Weise die Galoissche Theorie an den algebraischen Gleichungen selbst entwickelt. Die algebraische Gleichung wird ersetzt durch das System \(S\) der Beziehungen zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten, und es wird zunächst untersucht, was für Folgerungen sich ergeben aus der Kenntnis einer oder mehrerer Relationen \(A\) zwischen den Wurzeln, vorausgesetzt, daß nur rationale Operationen benutzt werden. Es zeigt sich, daß alle Lösungen von \((SA)\) aus einer einzigen von ihnen durch die Substitutionen einer Gruppe \((G)\) erhalten werden, und daß es ebensoviel Lösungen gibt wie Substitutionen in der Gruppe. Solches System wird ein automorphes und \(G\) seine Gruppe genannt.
Im zweiten Kapitel wird dieselbe Methode auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen angewandt; der Verf. gelangt dabei zu Resultaten, die schon von Picard (Traité d’Analyse Bd. 3 Kap. 17) angegeben worden sind.
Im dritten Kapitel wendet sich der Verf. zu partiellen Differentialgleichungen der Form \[ \frac{\partial x}{\partial t} + \sum_{i=1}^n p_i(t,t_1,\dots,t_n)\frac{\partial x}{\partial t_i} = 0, \] und zwar wird diese Gleichung ersetzt durch Differentialrelationen, welche die Größen \(t\), \(t_1\), ..., \(t_n\) mit den Funktionen \(x_1\), ..., \(x_n\) verbinden, die \(n\) unabhängige Integrale, d. h. eine beliebige Lösung derselben bilden. Man gelangt wie im ersten Kapitel zur Definition von automorphen Systemen, aber im allgemeinen ist keines dieser Systeme rational. Diese Schwierigkeit wird jedoch überwunden, und im letzten Kapitel wird schließlich auf die Diskussion der Drachschen Theorie näher eingegangen.

Reviewer: Schafheitlin, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 29.0349.06