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Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre. (French) JFM 35.0354.01
Bei Gelegenheit des internationalen Mathematikerkongresses in Paris wurde von Hilbert folgendes Theorem ausgesprochen: Ist \(z\) eine Funktion von \(x\) und \(y\), deren Ableitungen bis zur dritten Ordnung endlich und stetig sind, und genügt sie der partiellen Differentialgleichung vom elliptischen Typus \[ F\left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2z}{\partial y^2}, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, x, y, z\right) = 0, \] worin \(F\) eine analytische Funktion ist, so ist z eine analytische Funktion. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, dieses Theorem zu beweisen.
Im ersten Kapitel wird die Picardsche Methode, die in einem speziellen Falle zum Ziele führt, auseinandergesetzt und ihre Anwendung auf die von Lütkemeyer: Über den analyt. Charakt. der Integrale von part. Diff. (Diss. Gött.; F. d. M. 33, 360, 1902, JFM 33.0360.02) und Holmgren (Math. Ann. 57, 409-420; F. d. M. 34, 385, 1903, siehe JFM 34.0385.01 u. JFM 34.0385.02) behandelten Fälle besprochen. Dieses Verfahren wird einer Modifikation unterworfen, um es für den allgemeinen Fall anwendbar zu machen. Durch Benutzung einer neuen Form von Reihen, die im zweiten Kapitel behandelt werden, wird die anfängliche Schwierigkeit überwunden und im dritten Kapitel das Hilbertsche Theorem für den speziellen Fall \[ z\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = 0\qquad (z>0) \] bewiesen. Im vierten Kapitel wird der allgemeine Fall behandelt, und es werden einige Betrachtungen über das Dirichletsche Problem angefügt. Im letzten Kapitel wird als Ergänzung der positiven Ergebnisse im Falle des elliptischen Typus gezeigt, daß die beiden Differentialgleichungen vom hyperbolischen, resp. parabolischen Typus: \[ \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} = f\left(x,y,z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) \] und \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2} = \varphi\left(x,y,z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) \] nicht analytische Lösungen zulassen, und zwar die erste in bezug auf \(x\) und \(y\), während die Lösungen der zweiten in bezug auf \(x\) analytisch sind, aber nicht in bezug auf \(y\).

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References:
[1] Voir surtout: “Journal de l’École Polytechnique{” 1890 et “Acta Mathematica{” 1902.}}
[2] Em. Picard “Traité d’Analyse{” t. II. Ch. I, § 3.}
[3] Voir, par exemple, M. Hurwitz “Sur les applications géométriques etc.{” Annales de l’École Normale 1902.}
[4] Voir Em. Picard “Sur la généralisation du problème de Dirichlet{” Acta Mathematica 1902.}
[5] Traité d’analyse t. II, Ch. I, p. 24.
[6] Je n’insiste pas sur les généralisations dont le résultat obtenu est évidemment susceptible pour des équations d’ordre quelconque à coefficients complexes dans un espace àn dimensions. Une note fondamentale de M. Picard (C. R. t. CXXI) devrait servir de base à une étude de ce genre.
[7] Voir Em. Picard “Théorie des équations aux dérivées partielles{” Journal de Mathématiques 1890.}
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