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Sufficient condition for a minimum with respect to one-sided variations. (English) JFM 35.0370.02
Soll die Extremale, längs welcher ein gegebenes Integral einen extremen Wert annimmt, ganz im Innern eines gegebenen Gebietes \(R\) liegen, so ist es oft nicht möglich, eine Lösung zu finden, welche dieser Bedingung entspricht. Wohl aber können in diesem Falle Lösungen existieren, bei denen die Extremale aus Bogen im Innern des Gebietes \(R\) und aus Teilen der Begrenzung von \(R\) zusammengesetzt ist. Die in diesem Falle für das Eintreten eines extremen Wertes notwendigen Bedingungen erweisen sich nach Vornahme geringfügiger Modifikationen auch als hinreichend, wie der Verf. in der vorliegenden Untersuchung sowohl für Integrale von der Form \[ J = \int f\left(x, y, \frac{dy}{dx}\right)dx, \] als auch für Parameterintegrale \[ J = \int F\left(x, y, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)dt \] nachweist.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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