Taylor series and the exponential representation. (Les séries de Taylor et la représentation exponentielle.) (French) JFM 35.0407.02

Desaint, L.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 415-448 (1904).

Es wird zunächst ein Teil der Sätze über die Darstellung analytischer Funktionen als Summen von Exponentialausdrücken bewiesen, die der Verf. bereits mitgeteilt hatte (F. d. M. 33, 400, 1902, JFM 33.0400.01), und dann wird zu der Verallgemeinerung von Ergebnissen geschritten, über die F. d. M. 33, 408, 1902, JFM 33.0408.02, berichtet wurde. Dabei gelangt Desaint zu folgenden Theoremen:
I. Die Funktion \(F(z)\) werde im Innern eines Kreises, dessen Radius größer als eins ist, durch die Taylorsche Reihe \[ F(z) = \sum a(n)z^n \] dargestellt, und es seien \[ A_1(x),\dots,A_p(x) \] Funktionen, welche sich in Sektoren regulär verhalten, die von dem unendlich fernen Punkte ausgehen, eine Öffnung größer als zwei Rechte haben und die reelle Achse enthalten. Ferner möge sich die Funktion \[ f(x,y,u,\dots,w) \] in der Nähe des Punktes \[ x = 0,\quad y = 0,\quad u = 0,\dots,w = 0 \] regulär verhalten. Alsdann hat die Funktion \[ \Phi(z) = \sum f \left[a(n), \frac{A_1(n)}{k^n},\dots,\frac{A_p(n)}{k^n}\right]z^n \quad (k>1) \] außer \(z = 1,k,k^2,\dots\) und \(\infty\) keine anderen Singularitäten als die Paukte, die man erhält, indem man die singulären Punkte von \(F(z)\) auf alle möglichen Arten miteinander multipliziert und zu den so gewonnenen Punkten diejenigen hinzufügt, bei denen \(z\) im Verhältnis \(1:k\), \(1:k^2\), ... größer ist.
II. Die Funktionen \[ F_1(z) = \sum a_1(n)z^n,\dots, F_p(z) = \sum a_p(n)z^n \] mögen sich in einem Kreise regulär verhalten, dessen Radius größer als eins ist, und die Funktionen \(A_1(x)\), ..., \(A_q(x)\) dieselbe Eigenschaft in Sektoren besitzen, die von dem unendlich fernen Punkte ausgehen, eine Öffnung größer als zwei Rechte haben und die reelle Achse enthalten. Ferner möge sich die Funktion \[ f(x,y,\dots,w) \] in der Nähe des Punktes \[ x = 0,\quad y = 0,\quad\dots,\quad w = 0 \] regulär verhalten. Alsdann hat die Funktion \[ \Phi(z) = \sum f \left[a_1(n),\dots,a_p(n), \frac{A_1(n)}{k^n},\dots,\frac{A_q(n)}{k^n}\right]z^n \quad (k>1) \] außer \(z = 1,k,k^2,\dots\) und \(\infty\) keine anderen singulären Punkte, als die Punkte, die man erhält, wenn man die singulären Punkte der \(p\) Funktionen \(F_1(z)\), ..., \(F_p(z)\) auf alle möglichen Arten miteinander multipliziert und zu den so gewonnenen Punkten diejenigen hinzufügt, bei denen \(z\) im Verhältnisse \(1:k\), \(1:k^2\), ... größer ist.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Hannover)

MSC:

30B50

Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Desaint’s exponential representation

Citations:

JFM 33.0400.01; JFM 33.0408.02