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On the connections between the representations of a branch of a monogenic function by Mr. Mittag-Leffler, the method of Mr. Borel and the transformation of Mr. Lindelöf. (Über die Beziehungen zwischen der Darstellung eines eindeutigen Zweiges einer monogenen Funktion durch Herrn Mittag-Leffler, der Methode der Mittelwerte des Herrn Borel und der Transformation des Herrn Lindelöf.) (German) JFM 35.0408.01

Durch eine Taylorsche Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty F^{n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}, \] die innerhalb eines Kreises von endlichem Radius konvergiert, werde in einem gewissen Bereiche, der sich über den Konvergenzbereich der Reihe hinaus erstrecken möge, eine monogene analytische Funktion \(F(x)\) definiert. Nach dem Theorem von G. Mittag-Leffler (F. d. M. 29, 358, 1898, JFM 29.0358.03; 30, 364, 1899, JFM 30.0364.05) läßt sich innerhalb des zu den Größen \[ F(a),\quad F'(a),\dots, F^{(n)}(a),\dots \] gehörigen Hauptsternes \(A\) der Funktionszweig \(FA(x)\) durch Ausdrücke darstellen, in denen wie bei der Taylorschen Reihe außer den Größen \(F(a)\), \(F'(a)\), ... und den Potenzen von \(x - a\) nur noch Konstanten auftreten, die von den Größen \(F(a)\), \(F'(a)\), ... unabhängig sind. Der Verf. zeigt den Zusammenhang dieser Darstellungen mit den Darstellungen eines Funktionszweiges, die man durch die Methode der Mittelwerte von E. Borel (F. d. M. 30, 230, 1899, siehe JFM 30.0230.01 u. JFM 30.0230.02) und von E. Lindelöf (F. d. M. 29, 351, 1898, JFM 29.0351.01) erhält.

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30D10 Representations of entire functions of one complex variable by series and integrals
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References:

[1] Acta Mathem., Bd. 23, 24, 26.
[2] Ann. de l’école norm., III ser., 16, (1899), p. 54.
[3] Wie man ausgehend vom Begriffe des arithmetischen Mittels vonn Grössen zur Einführung dieser allgemeinen Art von Mittelwerten gelangt, führt HerrBorel aus in denLeçons sur les séries diverg., chap. III. Hier gibt er zugleich auch eine etwas einfachere Definition eines Mittelwertes, indem erc v (t)=c v t v setzt und ausserdem nur noch annimmt, dass die erste und zweite der oben angeführten Bedingungen erfüllt seien. Doch kann in diesem Falle im allgemeinen auch die dritte Bedingung erfüllt werden, indem man nämlich die Art des Grenzüberganges limt-+entsprechend wählt, so dass dann diese Art von Mittelwerten ebenfalls unter der im Texte definierten enthalten ist.
[4] Ann. de l’école norm., III ser., 16 (1899), p. 53.
[5] Mathem. Ann., Bd. 20, (1882), p. 535, ff.
[6] Bull. des sciences mathem., 1890, p. 114, ff.
[7] Mathem. Ann., Bd. 24, (1884), p. 159; über die weitere Ausführung der Theorie der unendlichen Doppelreihen vgl. man:Pringsheim, Sitzungsber. der baier. Akad., math.-phys. Cl. 1897, p. 101 ff., Mathem. Ann., Bd. 53, (1900), p. 289 ff.,London, ebenda, Mathem. Ann., Bd. 53, (1900), p. 322 ff.
[8] Acta mathem., Bd. 23, p. 60.
[9] Acta mathem., Bd. 24, p. 189.
[10] Acta soc. scient. Fennicae, tom. 24.
[11] Mathem. Annalen, Bd. 24, (1884), p. 169.
[12] Differenzenrechnung, übers. v.Friesendorff u.Prümm, 1896, p. 101. – Über diese Beziehung der Methode der Mittelwerte zurEuler’schen Formel und die daraus sich ergebende Verwandlung der Mittelwerte (5) inn-fach unendliche ReihenMittag-Leffler’s vergleiche man auch die Aufsätze des Verfassers:Über Borel’s Verallgemeinerung des Grenzbegriffes, Monatshefte f. Math. u. Phys., XII, 1901;Zurückführung der allgemeinen Mittelbildung Borel’s auf Mittag-Leffler’s n-fach unendliche Reihen, ebenda, XIV, 1903.
[13] Markoff, ebenda, p. 180 u. 102. – In derselben Weise wie bei dem im Texte behandelten Falle kann man auch in dem etwas allgemeineren Falle, wo \(z = \frac{{at}}{{1 + t}}\) und daher \(t = \frac{z}{{a - z}}\) ist, falls {\(\alpha\)} eine positive reelle Grösse bezeichnet, durch Anwendung der Formel der partiellen Summation zur Gleichung (14) gelangen. Durch diese Substitution erhält man nämlich fürF(x) die Darstellung \(F(x) = a_0 + a_1 a\frac{z}{{a - z}} + \Delta _a a_1 \left( {\frac{z}{{a - z}}} \right)^2 + \Delta _a^2 a_1 \left( {\frac{z}{{a - z}}} \right)^3 + \cdots \) wo \(\Delta _a^v a_1 = a^{v + 1} a_{v + 1} - \left( {\begin{array}{*{20}c} v 1 \end{array} } \right)a^v a_v \left( {\begin{array}{*{20}c} v 2 \end{array} } \right)a^{v - 1} a_{v - 1} - ... + ( - 1)^v aa_1 \) ist. Man hat daher, um zu dieser Darstellung durch Anwendung der Formel der partiellen Summation zu gelangen, nur zu beachten, dass \(\sum\limits_{v = 0}^\infty {a_v z^v } = \sum\limits_{v = 0}^\infty {a_v a^v } \left( {\frac{z}{a}} \right)^v = \sum\limits_{v = 0}^\infty {a'_v z'^v } \) ist.
[14] In dem Falle, wo \(c_v (t) = \frac{{t^v }}{{|\underline v }}\) ist, sieht man unmittelbar, dass dies zutrifft; denn man hat dann nur inm 1 füre die Reihe \(1 - t + \frac{{t^2 }}{{|\underline 2 }}\) ... einzusetzen.
[15] Ann. di matem., ser. II, t. 26, (1897), p. 216.
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