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Remarks on the zeros of entire functions. (Remarques sur les zéros des fonctions entières.) (French) JFM 35.0410.02
Es sei \(F(z)\) eine ganze Funktion des endlichen Geschlechts \(p\), \(M(r)\) das Maximum des absoluten Betrages von \(F(z)\), wenn der absolute Betrag von \(z\) gleich \(r\) ist. Variiert dann \(r\) von Null bis unendlich, so bleibt bekanntlich das Produkt \[ M(r)e^{-sr^{p-1}} \] unter einer endlichen Grenze \(N\); dabei bezeichnet \(s\) eine beliebige reelle positive Zahl. Kennt man für einen gegebenen Wert von \(s\) eine obere Grenze \(K\) für \(N\), so wird durch den Ausdruck \[ \frac1{as^{\frac1{p+1}}\cdot \sqrt{1+b^{\fracwithdelims()KA^2}}}. \] eine untere Grenze für die absoluten Beträge der Nullstellen von \(F(z)\) gegeben. Hierin ist \(A\) der absolute Betrag von \(F(0)\), \[ \begin{aligned} a &= [(p + 1)e]^{\frac1{p+1}},\\ b &= \sum_{n=1}^\infty n^{-\frac{2n}{p+1}};\end{aligned} \] für \(p=0\), 1, 2 werden die numerischen Werte von \(a\) und \(b\) angegeben.
MSC:
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
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Full Text: DOI Numdam EuDML