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On functions represented by a broad class of definite integrals. (Sur les fonctions representées par une classe étendue d’intégrales définies.) (French) JFM 35.0410.03
Jede analytische Funktion \(F(z)\) läßt sich auf unendlich viele Arten durch Integrale der Form \[ \int_L R(t,z) dt \] darstellen, bei denen \(R(t,z)\) eine rationale Funktion von \(z\) bedeutet, deren Koeffizienten von \(t\) abhängen; das Integral ist über einen Weg \(L\) in der \(t\)-Ebene zu erstrecken und liefert die Werte von \(F(z)\) für einen gewissen Teil der \(z\)-Ebene. Da es sich nicht selten ereignet, daß sich transzendente Funktionen verwickelter Natur durch Integrale mit einfachen Funktionen \(R(t,z)\) darstellen lassen, hat es ein Interesse, die Eigenschaften einer durch ein solches Integral definierten Funktion direkt zu untersuchen und im besonderen nach den Beziehungen zu fragen, die zwischen den Koeffizienten von \(R\) und den Eigenschaften von \(F\) bestehen.
Zunächst zeigt sich bei der Entwicklung des Integrals in eine Reihe, die nach Potenzen von \(z\) fortschreitet, daß man \(F(z)\) durch die Verbindung verschiedener Potenzen von \(z\) und gewisser Funktionen \(\Theta(z)\) darstellen kann, die für \(F(z)\) die Rolle einfacher Elemente spielen. Die Koeffizienten der so erhaltenen Reihen \[ \Theta(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 +\cdots \] haben die Form \[ a_n = \int_L A(t)[r(t)]^ndt, \] wo die Funktionen \(A(t)\) und \(r(t)\) algebraisch von den Koeffizienten der rationalen Funktion \(R(t,z)\) abhängen. Integrale dieser Art, die sich schon bei Laplace finden, waren in neuerer Zeit bereits wiederholt betrachtet worden, so von Darboux, Flamme, Hamy, Le Roy usw. Ihre Form ermöglicht ein Studium des asymptotischen Wertes von \(a_n\) und der Konvergenz der Reihen \(\Theta(z)\), sowie die Untersuchung ihrer sonstigen Eigenschaften. Dabei ergeben sich zahlreiche Berührungspunkte mit den modernen Forschungen über die Taylorsche Reihe.
MSC:
30D10 Representations of entire functions of one complex variable by series and integrals
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Full Text: DOI Numdam