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On certain properties of entire functions. (Sur quelques propriétés des fonctions entières.) (French) JFM 35.0411.02

Der Verf. stellt sich zuvörderst die Aufgabe, den Zusammenhang schärfer zu präzisieren, der bei ganzen transzendenten Funktionen zwischen der Art des Wachstums der Funktion und der Zahl ihrer Nullstellen in gegebenem Bereich besteht. Ist \(G(z)\) ein Produkt von primären Faktoren der Höhe (genre) \(p\): \[ G(z) = \prod\left(1 - \frac z{a_i}\right)e^{\frac z{a_i}+\cdots+ \frac{z^p}{pa_i^p}} \] und der absolute Betrag \(r_i = |a_i|\) der \(i\)-ten Nullstelle durch eine reelle Funktion \(\psi(i)\) so eingegrenzt, daß \[ r_i\geq \psi(i) \] ist, so findet der Verf. für das Maximum des absoluten Betrages der Funktion auf einem Kreise mit dem Radius \(r\) die Ungleichung: \[ \log|G(z)| < gr^p + 2r\int_m^n \frac{dx}{\psi(x)} +\cdots+ \frac{r^p}p\int_m^n \frac{dx}{\psi^p} + br^{p+1}\int_n^\infty \frac{dx}{\psi^{p+1}}, \] wo \(g\) und \(b\) zwei positive Konstanten und \(m\) und \(n\) aus \(r\) zu bestimmen sind. Mit Hülfe dieser Approximationsformel gelingt es unter anderem auch, den bisher noch nicht behandelten Fall aufzuklären, in welchem sich der Maximalbetrag von \(G(z)\) auf dem Kreise mit dem Radius \(r\) näherungsweise verhält wie \(e^{r^p}\). Während Hadamard für den Fall, daß der Konvergenzexponent \(\varrho\) der Reihe der Nullstellen keine ganze Zahl ist, den Satz aufstellen konnte, daß die Summe zweier Funktionen der Höhe \(p\) höchstens wieder die Höhe \(p\) hat, zeigt der Verf., daß in dem bisher ausgeschlossenen Fall einer ganzzahligen Ordnung \(\varrho\) die Summe zweier Funktionen der Höhe \(p\) die Höhe \(p + 1\) haben kann.
Der zweite Teil der Abhandlung beschäftigt sich mit der logarithmischen Ableitung einer ganzen Funktion \(G(z)\) von endlicher Höhe. Schließt man aus dem Gebiete der unabhängigen Variable Flächenstücke mit beliebig kleinem Gesamtinhalt aus, welche die Pole enthalten, so bleibt in dem ganzen Restgebiet die logarithmische Ableitung von \(G(z)\) ihrem absoluten Betrage nach mit einer endlichen Potenz der Variable vergleichbar. Die befolgte Methode läßt sich alsdann überhaupt auf meromorphe Funktionen eines allgemeineren Typus anwenden und wird zur Untersuchung des Größenwachstums der Integrale von Differentialgleichungen in den Fällen benutzt, in welchen die von Painlevé angegebenen Typen von Gleichungen durch meromorphe Funktionen integriert werden. Schließlich werden im dritten und vierten Teile die früheren Prinzipien auf ganze Funktionen von unendlicher Höhe und auf die Untersuchung des Größenwachstums von Integralen allgemeinerer algebraischer Differentialgleichungen erster Ordnung übertragen. Der Verf. definiert eine Klasse von Differentialgleichungen, deren Integrale ein ganz analoges Wachstum besitzen wie ganze Funktionen von endlicher Höhe; er gelangt hiernach zu der Vermutung, daß der Zusammenhang zwischen der Größenordnung und dem analytischen Charakter einer Funktion eine ganz allgemeine Eigenschaft der analytischen Funktionen manifestiert, die nicht auf die ganzen Funktionen beschränkt ist.

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30D35 Value distribution of meromorphic functions of one complex variable, Nevanlinna theory
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[1] Des généralisations des théorèmes deMM. Hadamard etBorel vienneut d’être tont récemment indiquées parM. E. Lindelöf qui a établi des propositions voisines de celles qui sont exposées dans la première partie de ce travail.M. Lindelöf a également obtenu, de son côté, un exemple de fonction de genre zéro se trouvant la somme de deux fonctions de genreun. (Voir page 141.)
[2] Hadamard, Journ. de Math., 1893.Schou, Comptes rendus, t. 125, p. 763.
[3] Cela résulte de la généralisation du théorème classique deM. Picard sur les fonctions entières. VoirBorel,Sur les zéros des fonctions entières. (Acta Math. 1896.)
[4] Acta Math. 1896 (Art. cité);Leçons sur les fonctions entières, p. 61.
[5] Leçons sur les fonctions entières, p. 99.
[6] Voir dans l’Introduction, la définition deM. Borel. M. Borel a montré qu’il est facile de former des fonctions à croissance irrégulière.
[7] logx représente ici la valeur arithmétique du logarithme.
[8] Dans une note insérée aux Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences le 4 février 1901, j’ai obtenu les mêmes résultats en suivant une voie un peu différente, mais en imposant à {\(\psi\)}(x) des conditions équivalentes à celles que j’ai énoncées ici. Ces conditions étaient les suivantes: Si {\(\rho\)}, l’on pose \(\psi (x) = x^{\frac{1}{\rho }} \psi _1 (x)\) et l’on suppose {\(\psi\)}1(x) tel que la fonction \(\varepsilon \log x - \log \psi _1 \) soit positive et croissante lorsque p<1/{\(\rho\)}. {\(\psi\)}1 x sera par exemple de la forme \((\log x)^{\sigma _1 } (\log ^{(2)} x)^{\sigma _2 } \cdots \) Si {\(\rho\)} était égal àp, on isolerait dans la fonction {\(\psi\)} le produitx 1/{\(\rho\)}(logx)1/{\(\tau\)}.
[9] Voir en particulierBorel,Leç. sur les fonc. ent., p. 51.
[10] Lorsque je dirai, dans le cours de ce travail, qu’un nombre est fini, j’entendrai par là qu’il reste inférieur à un nombre fixe lorsquer oun augmente indéfiniment.
[11] La démonstration sera valable encore si le produitG(z) est de genre infini. Mais, dans ce cas il y aura intérêt à compléter la proposition en donnant à {\(\eta\)} une valeur voisine de l’unité. J’indiquerai dans la troisième partie cette généralisation qui n’a point ici d’utilité.
[12] SiA est un nombre positif plus grand que I, on a \(A^v< \frac{{\psi (Ax)}}{{\psi '(x)}}< A^\mu .\) L’égalitéK 1 {\(\psi\)}(n 1)={\(\psi\)}(n) entraîne doncn 1< \(K_1^{ - \frac{1}{\mu }} \) n, et l’égalité{\(\phi\)}(n 2)=K{\(\psi\)}(n 1) supposen 2<K 1/{\(\nu\)} n 1. Tous les calculs faits plus haut subsistent alors, {\(\rho\)} étant remplacé par l’un des deux nombres I/{\(\mu\)}, I/{\(\nu\)}.
[13] La présence dans la fonction entière étudiée d’un facteur exponentiele H(z) ne modifierait rien aux résultats obtenus, puisque {\(\rho\)} est supposé non entier.
[14] Bulletin de la Société Mathématique, 1883.
[15] On a, si 0<a<1/2, log(I+a)>a 2/2I/I>a/2.
[16] On pourrait déterminer avec plus de précision la situation des cerclesC et se demander s’ils forment des couronnes de quelque épaisseur. Le raisonnement du § 26 prouverait que dans un cercleC de rayonr, les couronnes où l’inégalité (23) est satisfaite forment une portion finie de l’aire totaleC. Mais il est facile d’aller beaucoup plus loin si l’on remplaceh par une fonction croissante quelconque den, par exemple par logn. Considérons à part dans le produit (22) tous les facteurs pour lesquels la différencer i est, en module, supérieure àr/n. Le produit de ces facteurs est supérieur à \(e^{ - hn\log n} .\) Les valeurs der i laissées de côté se trouvent toutes sur un segment \(\overline {ss} _1 \) , proportionnel àr/n qui sera infiniment petit par rapport àr, lorsquer augmentera indéfiniment. Le nombre {\(\nu\)} des pointsr i situés sur un tel segment sera donc infiniment petit par rapport àn, sauf peut-être pour un nombre négligeable de segmentsss 1. Raisonnons alors sur le segmentss 1 comme au § 26, en remplaçant {\(\eta\)} par {\(\eta\)}/n. Nous le décomposerons enn parties et nous pouvons affirmer que le nombre des intervalles partiels dans lesquels on n’a pas \(r_k - r' > \eta \frac{r}{{n^2 }} \ldots r_{k + i} - r' > \eta r\frac{i}{{n^2 }}\) est infiniment petit par rapport àss 1 (puisque ce nombre est proportionnel à {\(\nu\)}). On en déduit quedans le cercle C de rayon r, les couronnes où l’on n’a pas \(\left| {G(z)} \right| > e^{ - hm\log n} \) forment lorsque r augmente indefiniment une aire infiniment petite par rapport à l’aire totale C.
[17] Comptes rendus de l’Académie des Sciences. 30 décembre 1901.
[18] Dans son mémoire surles zéros des fonctions entières,M. Borel a donné une limite supérieure du module deF’(z). Posant \(\begin{array}{*{20}c} { F(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots } {M(r) = \left| {a_0 } \right| + \left| {a_1 } \right|r + \cdots } {M'(r) = \left| {a_1 } \right| + 2\left| {a_2 } \right|r + \cdots } \end{array}\) M. Borel a montré que l’on a, quel que soit {\(\epsilon\)}, à partir d’une certaine valeur der \(M'(r)< [M(r)]^{1 + \varepsilon } .\)
[19] Giornale di Baltaglini, 1884 et 1885, \(\frac{{\left| {F'(z)} \right|}}{{r^p \left| {F(z)} \right|}}\) tend vers zéro, tandis que le rapport \(\frac{{\left| {F'(z)} \right|}}{{r^{p - 1} \left| {F(z)} \right|}}\) augmente indéfiniment. Mais pour que la première partie de cette proposition fût vraie il serait nécessaire de faire des hypothèses très particulières sur les arguments des zéros. Quant à la seconde partie, elle n’est en tout cas pas exacte, comme nous le constaterons un peu plus loin.
[20] Première partie, § 15.
[21] On constaterait aisément que dans certains cas exceptionnels, bien queG(z) soit de genrep, on pourra avoir dans l’angle {\(\gamma\)} à partir d’une certaine valeur der une inégalité telle que \(\left| {g(z)} \right|< \frac{{r^{p - 1} }}{{\log r}}.\) Au contraire on aura toujours, lorsquer est assez grand, l’inégalité (2’).
[22] pour toutes, si la croissance deG(z) est régulière.
[23] pourr={\(\xi\)}, comme pourr{\(\xi\)}0, le rapport den’ au nombren du § 3 est fini.
[24] Si l’on adopte, pour les fonctions méromorphes, cette définition du genre, les fonctions méromorphes de genrep ne seront qu’une catégorie très particulière de la classes des fonctions qui s’expriment par le quotient de deux fonctions entières de genrep. La plupart de ces dernières fonctions seront, à notre point de vue, de genre infini; car leurs résidus deviennent généralement infiniment grands avecr. On rencontre de graves difticultés lorsqu’on essaye de développer de telles fonctions sous la forme (13). Cette forme de développement a été étudiée parM. Borel dans un important mémoire publié en 1901 dans les Annales de l’École Normale Supérieure.
[25] On obtiendrait d’autres théorèmes si l’on supposait que le nombreH croît indéfiniment avecr. Cf. § 19 et § 26.
[26] Si l’ordre {\(\rho\)} était entier, il faudrait également diviser para 2 la limite obtenue au § 18. On a, en tout cas, dans certaines régions du carréA de côtéar l’inégalité \(\left| {g'(z)} \right|< \frac{{hn^2 \log v}}{{a^2 r^2 }} + \frac{\varepsilon }{{a^2 }}r^{p - 1} ,\) {\(\epsilon\)} tendant vers zéro avec I/r.
[27] c’est-à-dire le long d’un chemin quelconque issu dez 0, tant que les inégalités (20) et (21) seront satisfaites sur ce chemin.
[28] Le rayon dec deviendra infiniment petit par rapport au rayon de {\(\sigma\)} lorsquer eta augmenteront indéfiniment.
[29] Tous ces cerclesc 1 sont contenus à l’intérieur d’une aire égale à {\(\pi\)}{\(\eta\)}’3 r 12 ({\(\eta\)}’ fini), et l’aire de chacun d’eux est supérieure à \(\frac{\pi }{{a\varpi }}\) . Le nombre des cerclesc est donc plus petit que \(\eta '^2 a\varpi r_I^2 .\)
[30] Il est toujours possible de construire un tel chemin contournant un nombre quelconque de cerclesc; voir fin du § 24 et note de la page 180.
[31] Pour construire ce chemin, on peut procéder comme à la fin du § 24. On mène la droiteZ 0 z, et chaque fois que cette droite coupe un cerclec’ aux pointsa i b i, on remplace la corde par la plus petit arca i b i.
[32] Pour appliquer le même raisonnement au cas où le radical serait précédé du signe –, il suffirait de prendre le cercle {\(\sigma\)} de l’autre côté de la droiteL.
[33] L’argument de \(\sqrt {z_1 } \) est égal à \(\frac{{\theta _i + a'}}{2}\) ,á étant proportionnel àa; l’argument dedz est compris entre \(\frac{{\pi - \theta _i }}{2} + \frac{\pi }{2}\) et \(\frac{{\pi - \theta _i }}{2} + \frac{{3\pi }}{2}\) . L’argument de \(\sqrt {z_1 } \) dz est donc compris entre \(\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{a'}}{2}\) et \(\frac{{5\pi }}{4} + \frac{{a'}}{2}\) .
[34] Si l’on avait donné à {\(\rho\)} i une valuer moins élevée, par exemple la valeur \((I + \beta )\frac{{\log i}}{{\log r_i }}\) , qui suffit à assurer la convergence de la série \(\sum {\left( {\frac{r}{{r_i }}} \right)^{\rho i} } \) , la valeur dei à partir de la quelle cette série cût décrir aussi vite que \(\sum {i^{ - 1 - a'} } \) eût été très supérieure àn 2, et la limite supérieure de cette série se fût trouvée augmentée.
[35] La forme de l’aireA n’importe pas ici. Remarquons qu’elle peut être contenue tout entière à l’intérieur d’un angle fini ayant pour sommet l’origine.
[36] {\(\mu\)} a, dans les calculs qui suivent, une valeur fixe dépendant der 1.
[37] On a, en effet, l’inégalité \(\left[ {\left| {\frac{{\zeta '^2 }}{{\zeta ^2 }}} \right|} \right]_{Z_3 }^{Z_4 }< (4 + \varepsilon )e^{r'} + 4\left[ {\left| {I(z)} \right|} \right]_{Z_3 }^{Z_4 } \) {\(\epsilon\)} tendant vers zéro avec \(\frac{I}{\mu }\) . La variation de \(\left| {\frac{{\zeta '}}{\zeta }} \right|\) est inférieur à la racine carré du second membre. \(e^{\frac{{r'}}{2}}< h_2 e^{r^3 } e^{ - \frac{{r'}}{2}}< h'e^{\frac{\mu }{2}} e^{r^3 } (e^{r_4 - r_2 } - I).\)
[38] On a, en particulier, les inégalités (25) dans certaines portions de la couronneD 1 limitée par les cercles de rayonsr 1 etr 1 (I–{\(\epsilon\)}) {\(\epsilon\)} tendant vers zéro avec \(\frac{I}{{r_1 }}\) .
[39] En se reportant au § 8, on voit que si l’inégalité (28) est vérifiée pourr=r 2, les inégalités (28’) seront satisfaites pourr=r z=x 2(I+a), (a>0, b>0).
[40] D’après les théorèmes de la seconde partie, on peut toujours tracer dans la couronneD 1 un cercle sur lequel on a \(\left| {\frac{{H(z)}}{{K(z)}}} \right|< e^{\gamma r} \) {\(\psi\)} tendant vers zéro avec \(\frac{I}{{r_1 }}\) .
[41] Sur les zéros des fonctions entières, p. 365.
[42] Borel,Mémoire sur les séries divergentes (Anu. Ec. Norm. Sup. 1899).Lindelöf, Bull. de la Soc. math. de France 1899.
[43] Je suppose qu’il existe des nombress,s 1 tels que les rapports \(\frac{{x^s }}{\varphi }\) et \(\frac{\varphi }{{x^{s_1 } }}\) soient croissants à partir d’une certaine valeur dex. On a alors \(\frac{{s_1 }}{x}< \frac{{\varphi '}}{\varphi }< \frac{s}{x}\) .
[44] Je me contente de dire que les nombres {\(\sigma\)}, {\(\sigma\)}1, {\(\sigma\)}2 sont finis, n’yant pas besoin de plus de précision. Mais on pourrait facilement les calculer. Ainsi, désignons par {\(\tau\)} et {\(\tau\)}1 les degrés dea p-1 et deb p-1. {\(\sigma\)} est le plus grand des nombres {\(\tau\)}1 et {\(\mu\)}{\(\tau\)}.
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