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On the zeros of a class of transcendental functions. (Sur les zéros d’une classe de fonctions transcendantes.) (French) JFM 35.0415.03
Durch eine Gleichung der Form: \[ F(z,u) = \sigma_0(u) + \sigma_1(u)A_1(z) +\cdots+ \sigma_\nu(u)A_\nu(z) = 0, \] in welcher \(A_1(z)\), \(A_2(z)\), ..., \(A_\nu(z)\) ganze transzendente Funktionen von endlicher Höhe und \(\sigma_0(u)\), \(\sigma_1(u)\), ..., \(\sigma_\nu(u)\) beliebige ganze Funktionen bedeuten, wird eine Funktion \(u(z)\) von \(z\) mit unendlich vielen Zweigen definiert.
Dann gilt der Satz:
I. Die Funktion \(u(z)\) nimmt in der Nachbarschaft des unendlich fernen Punktes alle Werte an, möglicherweise mit Ausnahme einer abzählbaren Punktmenge, die sich durch eine Determinantengleichung des näheren bestimmen läßt.
Ist insbesondere \(F(z,u)\) ein Polynom in \(u\): \[ u^\nu + A_1(z)u^{\nu-1} + A_2(z)u^{\nu-2} +\cdots+ A_\nu(z) = 0, \] so heißt \(u\) eine algebroide transzendente Funktion mit \(\nu\) Zweigen und von endlicher Höhe. Alsdann ergibt sich:
II. Eine algebroide \(\nu\)-wertige Funktion von endlicher Höhe nimmt in der Nachbarschaft des unendlich fernen Punktes alle Werte an, höchstens mit Ausnahme von \(2\nu\). Ist die Zahl der Ausnahmewerte größer als \(2\nu\), so ist die Funktion algebraisch.

MSC:
30D35 Value distribution of meromorphic functions of one complex variable, Nevanlinna theory
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Full Text: DOI Numdam EuDML