On the functions of closed lines. (Sur les fonctions de lignes fermées.) (French) JFM 35.0424.02

Fréchet, M.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 557-582 (1904).

Entspricht jeder Linie L des Raumes ein bestimmter Wert einer Veränderlichen, so hat Volterra diese Veränderliche eine “Linienfunktion” genannt (F. d. M. 19, 411-415, 1887, JFM 19.0411.01; 20, 396-402, 1888, JFM 20.0396.01; 21, 397-410, 1889, JFM 21.0397.01); solche Funktionen treten in der mathematischen Physik nicht selten auf. Fréchet beschränkt sich auf solche Linienfunktionen \(U_L\), bei denen \(L\) eine geschlossene ebene oder räumliche Kurve ist, deren Tangente sich stetig ändert. Betrachtet man eine von einem Parameter \(p\) abhängende Familie solcher Kurven, für die also die Linienfunktion \(U_L\) in eine gewöhnliche Funktion von \(p\) übergeht, so möge, wenn sich \(p\) um \(\delta p\) ändert, \(U_L\) um \(\delta U_L\) variieren. Dann gilt der Satz:
Damit die Linienfunktion \(U_L\) eine gewöhnliche Funktion der \(n\) Linienfunktionen \(V_L'\), \(V_L''\), ..., \(V^{(n)}\) wird, ist notwendig und hinreichend, daß eine Relation der Form \[ U_L = K_L'\delta V_L' + K_L''\delta V_L'' +\cdots+ K_L^{(n)}\delta V_L^{(n)} \] besteht, in der \(K_L'\), \(K_L''\), ..., \(K_L^{(n)}\) bestimmte Funktionen der Linie \(L\) bedeuten, die unabhängig davon sind, in welcher Art \(L\) von \(p\) abhängt.
Die Linienfunktion \(U_L\) wird eine Volterrasche Funktion genannt, wenn man hat \[ U_L = \int_L (U_x'x + U_y'y + U_z'z)ds. \] Hierin bedeutet \(s\) die Bogenlänge von \(L\), und \(U_x'\), \(U_y'\), \(U_z'\) sind Größen, die für jeden Punkt \(M\) jeder geschlossenen Linie \(L\) bestimmte Werte haben. Zu den Volterraschen Funktionen gehören die Integrale \[ J_L = \int_L \{P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz\}, \] die Fréchet Volterrasche Funktionen ersten Grades nennt. Eine gewöhnliche Funktion einer Volterraschen Funktion “ersten Grades” ist wieder eine Volterrasche Funktion; sie wird eine “einfache” Volterrasche Funktion genannt. Die einfachen Funktionen sind die einzigen Volterraschen Funktionen, die einer Funktionalgleichung der Form \[ U_{L+L'} = \varphi(U_L, U_L') \] genügen, in der \(\varphi\) eine gewöhnliche (stetige und differenzierbare) Funktion von \(U_L\) und \(U_L'\) bedeutet.
Zwei Volterrasche Funktionen \(U_L\) und \(V_L\) heißen “isogen”, wenn das Verhältnis \[ H_{L,M} = \frac{U_x'\delta x + U_y'\delta y + U_z'\delta z}{V_x'\delta x + V_y'\delta y + V_z'\delta z} \] von der betrachteten Variation abhängig ist. \(H_{L,M}\) ist dann für jeden Punkt \(M\) von \(L\) eine bestimmte Größe. Ist \(H_{L,M}\) unabhängig von \(M\), so ist \(U_L\) eine gewöhnliche Funktion von \(V_L\). Soll eine Volterrasche Funktion zu einer einfachen Funktion isogen sein, so ist notwendig und hinreichend, daß man sie durch eine Transformation der Veränderlichen auf die Funktion einer ebenen, in einer festen Ebene gelegenen Kurve reduzieren kann. Kennt man den Wert des Ausdruckes \[ K_{L,M} = xU_x' + yU_y' + zU_z' \] für jeden Punkt \(M\) irgend einer geschlossenen Linie \(L\), so ist die Volterrasche Funktion \(U_L\) bis auf eine additive Konstante \(U_0\) bestimmt, man hat nämlich: \[ U_L = U_0 + \int_L \left(\int_0^1 K_{kL,kM}dk\right)ds; \] dabei bedeuten \(kL\) und \(kM\) die Gebilde, die aus \(L\) und \(M\) durch eine Ähnlichkeitstransformation im Verhältnis \(1:k\) hervorgehen. Hieraus folgt endlich der Satz: Damit eine Volterrasche Funktion eine Funktion ersten Grades wird, ist notwendig und hinreichend, daß \(U_x'\), \(U_y'\), \(U_z'\) nur von dem Punkte \(M\) und von der Tangente an \(L\) in diesem Punkte abhängen.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Hannover)

MSC:

49J50

Fréchet and Gateaux differentiability in optimization

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Spaces of curves; functions of curves; variations; Volterra functions

Citations:

JFM 19.0411.01; JFM 20.0396.01; JFM 21.0397.01