Sur la représentation des fonctions elliptiques. (French) JFM 35.0464.01

Floquet, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 87-98 (1904).

Die Funktion \[ \varphi(u) = A + A_0\wp(u-h) + A_1\wp'(u-h) +\cdots+ A_{m-2}\wp^{(m-2)}(u-h) \] hat, wenn \(A_{m-2}\) nicht Null ist, den \(m\)-fachen Pol \(u=h\). Zwischen den \(m\) Nullstellen \(a\) und der Unendlichkeitsstelle \(h\) besteht die Relation \[ h = \frac{\sum a}m + \frac{2\mu\omega+2\mu'\omega'}m, \] die Summe erstreckt über alle Nullstellen im Periodenparallelogramm der \(\wp\)-Funktion. Bei gegebenen \(a\) gibt es im allgemeinen \(m^2\) inkongruente Stellen \(h\) und stets mindestens \(m^2-m\). Die Konstanten \(A\) und \(h\) lassen sich immer so bestimmen, daß \(\varphi(u)\) vorgeschriebene Nullstellen erhält. Darauf beruht der allgemeinere Satz: Eine elliptische Funktion \(f(u)\) mit den \(m\) vorgeschriebenen Nullstellen \(a\) und den \(m\) Unendlichkeitsstellen \(b\) (mit der selbstverständlichen Bedingung \(\sum a\equiv\sum b\)) kann auf die Form gebracht werden: \[ f(u) = \frac{A + A_0\wp(u-h) + A_1\wp'(u-h) +\cdots+ A_{m-2}\wp^{(m-2)}(u-h)}{B + B_0\wp(u-h) + B_1\wp'(u-h) +\cdots+ B_{m-2}\wp^{(m-2)}(u-h)}; \] \(A_{m-2}\) und \(B_{m-2}\) verschwinden nicht gleichzeitig. Die Konstanten \(A\), \(B\) und \(h\) lassen sich stets bestimmen, und es ergeben sich, den \(m^2\) Werten \(h\) entsprechend, \(m^2\) Darstellungen für \(f(u)\). Zur Illustration dient der einfachste Fall: \(m=2\).

Reviewer: Lewent, Oberl. (Berlin)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. B. Elliptische Funktionen.