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Über die Begründung der hyperbolischen Geometrie. (German) JFM 35.0501.05
Nach einem historisch-systematischen Exposé eines Teiles der Begründungen der hyperbolischen Geometrie zeigt Verf., wie man die von Hilbert (s. F. d. M. 34, 525, 1903, JFM 34.0525.01) hierfür entwickelten Methoden benutzen kann, um Konstruktionen in der nichteuklidischen Geometrie auszuführen, sowie die Bewegung analytisch zu formulieren und danach die Trigonometrie zu begründen.

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References:
[1] J. Bolyai, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibeus. Ed. nova. (Budap. 1902.) Vgl. § 11, 17 und namentlich 21 ?SuperficiesF?.
[2] N. J. Lobatschefskij, zwei geometrische Abhandlungen. Deutsch mit Anmerkungen von F. Engel (Leipzig 1899). Vgl. S. 12 (Über die Anfangsgründe der Geometrie § 9) ?die Gränzkugel?.
[3] C. F. Gauß, Ges. Werke VIII, (Leipzig 1900) S. 255-257.
[4] Flye St. Marie, Etudes analytiques sur la théorie des parallèles. (Paris 1871.) Chap. I.
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[6] M. Simon. Die Trigonometrie in der absoluten Geometrie. Crelles Journal 109 (1892), S. 187-198. · JFM 24.0503.03
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[8] W. Killing. Die Mechanik in den nichteuklidischen Raumformen. Crelles Journal 98 (1885), S. 1-49. · JFM 17.0814.03
[9] Beltrami, Saggio di interpretazione della geometria non euclidea. Giornale di Batt. VI (1868), S. 283-315. · JFM 01.0275.02
[10] F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie. Math. Ann. 4 und 6 (Leipzig, 1871 und 72). F. Klein geht von der Cayleyschen Maßbestimmung aus und zeigt ihre von Cayley nicht erkannte Bedeutung für die nichteuklidische Geometrie. Außerdem aber wird sie unabhängig von der euklidischen Geometrie bestimmt, so daß die beiden Arbeiten auch unter 3) mit aufzuzählen sind.
[11] Zum ersten Mal und zugleich in allgemeinerer Form (im Bild auf der Fläche zweiten Grades) findet sich diese Darstellung in Note VI (S. 45-47) von Kleins Erlanger Programm. (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872). Wieder abgedruckt in Band XLIII der Math. Annalen. Leipzig 1893.
[12] Gérard, Sur la géometrie noneuclidienne. Thèse. Paris 1892.
[13] F. Schur, Über die Grundlagen der Geometrie. Math. Annalen 55 (Leipzig 1902), S. 264-292. · JFM 32.0531.03
[14] Hilbert, Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskijschen Geometrie. Math. Annalen 57 (Leipzig 1903), S. 137-150. · JFM 34.0525.01
[15] Hilberta. a. O., S. 140. (Zweite Definition nach Axiom IV.) · JFM 34.0525.01
[16] Vgl. die deutsche Ausgabe von Lobatschefskijs ?Pangeometrie? (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften 130. Leipzig 1902). S. 85.
[17] Vgl. Hilberta. a. O. § 1, Satz 4. An der von Hilbert zitierten Stelle hat Lobatschefskij den Satz sehr viel umständlicher bewiesen. (Vgl. die Engelsche Übersetzung S. 182-184). · JFM 34.0525.01
[18] Appendix § 35 und Fig. 18. Dort wird die Existenz des in Fig. 2 dieser Abhandlung mitD bezeichneten Punktes ? sehr sorgfältig bewiesen.
[19] Ein analytischer Beweis des Satzes, daß die Höhen sich in einem reellen, unendlichfernen oder idealen Schnittpunkt schneiden findet sich bei Gérard, a. a. O. Gérard, Sur la géometrie noneuclidienne. Thèse. Paris 1892. p. 54; vgl. auch (für die euklidische Ebene und die Kugel) Baltzer, Elemente der Mathematik II (6. Aufl. Leipzig 1883) S. 41.
[20] Gérard a. a. O. Gérard, Sur la géometrie noneuclidienne. Thèse. Paris 1892. p. 74. Diese Konstruktion ist die einfachste (Vgl. Hilbert a. a. O. Hilbert, Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskijschen Geometrie. Math. Annalen 57 S. 142, Fig. 3).
[21] Alle andern Konstruktionen erfordern, mit einziger Ausnahme der von Hilbert gegebenen, das Ziehen von Parallelen. Vgl. z. B. Engel a. a. O. S. 253 u. 255 und meine Ausgabe der ?Pangeometrie? S. 85. Zusatz 2. Hilbert verknüpft Existenzbeweis und Konstruktion in einfachster Weise (a. a. O. S. 141, Fig. 2).
[22] a. a. O. S. 149. Vgl. auch Fig. 6 und 7 für das folgende.
[23] a. a. O. S. 149 unten.
[24] a. a. O. S. 150 oben.
[25] Vgl. Lobatschefskij-Engel S. 18 und S. 212-214.
[26] Alle Lösungen der Aufgabe, die Parallele zu ziehen, beruhen auf Beziehungen zwischen dem ViereckPAOB und dem DreieckQOB. (Vergl. Bolyai, Appendix § 34. Lobatschefskij-Engel a. a. O. S. 256; Schur a. a. O. Über die Grundlagen der Geometrie. Math. Annalen 55 (Leipzig 1902), S. 292). Es ist bisher noch nicht gelungen eine einwandfreienrein geometrischen, weder auf Stetigkeitsbetrachtungen noch auf Benützung räumlicher Hilfsmittel beruhenden Beweis dieser Beziehungen zu erbringen. Vielleicht geben passend gewählte Spezialfälle der in § 1 genannten Sätze einen Weg hierzu.
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