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Abzählungen bezüglich des Strahls im \(n\)-dimensionalen Raum. (German) JFM 35.0575.01

Das Problem der Bestimmung der Anzahlen eines Strahles in einem \(n\)-dimensionalen linearen Raum hat Schubert durch Aufstellung einer Formel gelöst, welche die Berechnung sämtlicher Anzahlen ermöglicht. Da seine Beweisführung durchweg Gebrauch von dem Prinzip der Erhaltung der Anzahl macht, die Grenzen der Gültigkeit dieses Prinzips aber noch nicht sichergestellt sind, so hat Verf. die Aufgabe von neuem in Angriff genommen. Er gelangt durch algebraische Betrachtungen zu denselben Resultaten wie Schubert.
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References:

[1] ?Beitrag zur Liniengeometrie inn Dimensionen.? Mitt. der Hamburger Math. Ges. Bd. III, 1892, S. 86-97. · JFM 24.0628.01
[2] Vgl. die Einwände gegen das Prinzip von Herrn Kohn. Archiv der Math. u. Phys. III, Reihe IV, S. 312 ff.
[3] Der allgemeine Fall (k>1) ist erst in neuester Zeit durch Arbeiten von Herrn Giambelli zu einem gewissen Abschluß gebracht worden. Siehe besonders die Abhandlung ?Risoluzione del problema degli spazi secanti? Accad. R. delle Scienze di Torino, S. II. Tom. LII. 1902. p. 171 ff.
[4] In seiner Abhandlung: ?Über Elimination aus einem gewissen System von Gleichungen? Math. Ann. Bd. 5, 1872, S. 380; vgl. die Abhandlung desselben Verfassers: ?Über algebraische Korrespondenzen? Math. Ann. Bd. 36, 1890, S. 321 ff.
[5] Es sei bei dieser Gelegenheit auf den Unterschied hingewiesen, welcher zwischen dem Kroneckerschen Begriff der ?Stufe? und dem von Herrn Schubert in die abzählende Geometrie eingeführten besteht. In der im Crelleschen Journal Bd. 92 abgedruckten Festschrift von Kronecker wird in § 10 durch die Zahl der Gleichungen, denen eine Teilresolvente eines algebraischen Gleichungssystems äquivalent ist, die ?Stufe? des durch diese Teilresolvente repräsentierten algebraischen Gebildes definiert, so daß eine Resolventek ter Stufe eine (n-k) fache Mannigfaltigkeit darstellt. In der abzählenden Geometrie besitzt ein Gebildek ter Stufe einek fache Mannigfaltigkeit.
[6] In seiner Abhandlung Math. Ann. Bd. 26, S. 40.
[7] Siehe D. Hilbert, ?Über Büschel von binären Formen mit vorgeschriebener Funktionaldeterminante?. Math. Ann. Bd. 33, 1889, S. 229 ff.
[8] ?Über binäre Formen und die Gleichung 6. Grades?. Math. Ann. Bd. 20, 1882, S. 330 ff. · JFM 14.0064.01
[9] Ebenso tritt bei der Anzahlbestimmung [(2)6]=5 der algebraische Zusammenhang zwischen zwei Resultaten klar zu Tage, von denen in einer Notiz im 26. Bd. der Math. Ann. 1886 S. 154-156 Herr Fr. Meyer (?Über die elliptische Kurve 5. Ord. des Raums von 4 Dimensionen?) spricht; es handelt sich um eine Kurve, welche fünf Hyperflächen 2. Ord. im {\(\cdot\)}4-dimensionalen Raum gemeinsam haben. Die Ordnung dieser Kurve ist gleich der Zahl der Involutionen 4. Ordnung mit gemeinsamen Doppelelementen, nämlich gleich 5.
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