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On a method of dealing with the intersections of plane curves. (English) JFM 35.0587.01
Die Abhandlung führt eine Reihe vom Verf. früher (F. d. M. 30, 509, 1899, JFM 30.0509.03) aufgestellter Sätze weiter aus; vgl. auch eine Arbeit von Ch. A. Scott (F. d. M. 33, 607, 1902, JFM 33.0607.01). Diese Sätze gruppieren sich um das bekannteNoethersche Fundamentaltheorem, daß gewisse Bedingungen hinreichen, damit ein Polynom \(S\) in zwei Variablen \(x\), \(y\) in der Gestalt \(C_1P_1 + C_2P_2\) darstellbar ist, wo \(C_1\), \(C_2\) gegebene und \(P_1\), \(P_2\) unbestimmte Polynome sind. Verlegt man den Koordinatenursprung in irgend einen im Endlichen gelegenen Punkt \(a\), \(b\) und entwickelt \(S\), \(C_1\), \(C_2\) nach steigenden Potenzen von \(x\), \(y\), so nimmt \(S\) die Form \(C_1P_1' + C_2P_2'\) an, wo \(P_1'\), \(P_2'\) unbestimmte Potenzreihen sind, die für verschiedene Punkte \((a,b)\) ganz verschieden sind. So oft ein solcher Punkt ein Schnittpunkt von \(C_1\), \(C_2\) ist, und nur dann, so involviert das ein System von Bedingungen für die Koeffizienten von \(S\); für verschiedene Schnittpunkte sind diese Systeme ganz unabhängig voneinander.
Indem man wiederum \(P_1\), \(P_2\) für \(P_1'\), \(P_2'\) schreibt und auch \(C_1\), \(C_2\) allgemeiner als Potenzreihen zugelassen werden, sei \[ S = \sum z_q^p x^{p-q}y^q,\quad C_y = \sum a_q^p x^{p-q}y^q,\quad C_\alpha = \sum b_q^p x^{p-q}y^q\quad (p\geq q\geq 0); \] es handelt sich dann um das ganze System identischer Gleichungen, denen die Koeffizienten \(z_q^p\) von \(S\) zu genügen haben, damit die Identität \(S = C_1P_1 + C_2P_2\) besteht. Wird \(x^{p-q}y^q\) kurz mit \(\alpha_q^p\) bezeichnet, so ist zunächst zu beachten, daß die Identität \(\sum \alpha_q^pz_q^p\) alle “abgeleiteten” Identitäten von der Gestalt \(\sum\alpha_q^p z_{q-m}^{p-l}\equiv x^{l-m}y^mS = 0\) \((l\geq m\geq0)\) nach sich zieht. Ist umgekehrt das “einreihige” System, bestehend aus der Urgleichung \(\sum \alpha_q^pz_q^p = 0\) nebst allen ihren Ableitungen \[ \sum\alpha_q^p z_{q-m}^{p-l} = 0, \] für \(C_1\) und \(C_2\) erfüllt, so gilt es auch identisch. Das gesuchte System von Identitäten besteht somit aus allen einreihigen Systemen, denen durch die Koeffizienten von \(C_1\) und \(C_2\) genügt wird.
Das erste Haupttheorem sagt dann aus, daß alle einreihigen Bedingungssysteme, denen zwei gegebene Kurven (oder Koeffizientenreihen) genügen, ein einziges solches System ausmachen, wenn nur beide Kurven im Ursprunge keinen gemeinsamen Zweig besitzen. Umgekehrt läßt sich die vollständige Lösung eines einreihigen Systems durch zwei partikulare Lösungen ausdrücken. Dieses Theorem läßt sich dahin ausdehnen, daß alle einreihigen Systeme, denen \(t+1\) unabhängige Kurven genügen, \(t\) unabhängigen einreihigen Systemen äquivalent sind, falls nicht alle \(t+1\) Kurven im Ursprunge einen gemeinsamen Zweig besitzen, und umgekehrt.
Das erste Theorem findet seine direkte Anwendung bei der Frage nach der Anzahl der gewöhnlichen Punkte, denen der volle Schnitt zweier Kurven im Ursprunge äquivalent ist: diese Anzahl ist die der unabhängigen Gleichungen in dem durch beide Kurven bestimmten einreihigen Systeme.
Die Beweise hängen wesentlich ab von gewissen Anordnungen der Reihen, wobei der Begriff regulärer und irregulärer Reihen einwirkt.

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