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Sulle corrispondenze fra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie. (Italian) JFM 35.0629.01

Torino Mem. (2) 54, 1-49 (1904).
In dieser beachtenswerten Abhandlung wird die Theorie der Korrespondenzen auf algebraischen Kurven geometrisch neu aufgebaut, und weiterhin auf die Untersuchung der Flächen angewendet, deren Punkte die “Bilder” der Punktepaare einer, resp. zweier Kurven sind.
Das Korrespondenzprinzip wurde 1864 von Chasles für eine Gerade formuliert, 1866 für rationale Kurven. Ebenfalls 1866 gab Cayley die Erweiterung des Prinzips auf Kurven beliebigen Geschlechts, unter Beschränkung des Beweises auf einen Spezialfall (s. auch die Abhandlung von Cayley: F. d. M. 1, 164, 1868, JFM 01.0164.02). Der erste Beweis dieses allgemeinen Cayleyschen Korrespondenzprinzips wurde von Brill gegeben (F. d. M. 5, 305, 1873, JFM 05.0305.01); siehe auch die anschließende systematische Arbeit (F. d. M. 20, 709, 1888, JFM 20.0709.02), die den Begriff der (positiven) “Valenz” einführte. Weitere Beweise stammen von Junker, Bobek, Schubert, Zeuthen (der sich insbesondere mit der Bestimmung der Vielfachheit von Koinzidenzen beschäftigte) und Lindemann. Einen neuen Aufschwung erhielt die Theorie durch eine klassische Untersuchung von Hurwitz (F. d. M. 18, 626, 1886, JFM 18.0626.01), der sich von vornherein das Problem stellte, die Gesamtheit der Korrespondenzen auf einer Kurve zu ermitteln und deren innere Eigenschaften zu ergründen. Auf Kurven mit allgemeinen Moduln gibt es nur Korrespondenzen mit positiver oder negativer Valenz, die je durch die Nullstellen und Pole einer bestimmten rationalen Funktion zweier Kurvenpunkte festgelegt sind. Genügen dagegen die Moduln einer Kurve speziellen Relationen, so existieren auf ihr valenzfreie (singuläre) Korrespondenzen; diese erhält man durch das Verschwinden einer mittels \(\theta\)-Funktionen gebildeten Funktion zweier Kurvenpunkte. Die Gleichung jeder Korrespondenz aber auf irgend einer Kurve läßt sich durch Multiplikation zusammensetzen aus denen einer endlichen Anzahl passend gewählter Korrespondenzen, und hieraus wird das allgemeine Korrespondenzprinzip entwickelt.
Dem Verf. lag zunächst ob, den geometrischen Inhalt des Korrespondenzprinzips festzulegen durch Charakterisierung der rationalen Funktion (linearen Schar), die durch die Gruppe der Koinzidenzpunkte bestimmt ist.
Dabei war das Hülfsmittel der \(\theta\)-Funktionen durch ein rein algebraisches zu ersetzen. In den Mittelpunkt der Betrachtungen wird nach dem Vorgange von Castelnuovo der Begriff der Valenz gestellt.
Nachdem die Begriffe: “Algebraische Korrespondenz mit den Indizes \(\alpha\), \(\beta\) (d. h. \((\alpha,\beta)\)-deutige) auf zwei Kurven, resp. einer Kurve, Umkehrung einer Korrespondenz, symmetrische, speziell identische Korrespondenz” vorausgeschickt sind, werden die elementaren Operationen eingeführt, denen man Korrespondenzen unterwerfen kann. Die Summe \(T_1+T_2\) zweier Korrespondenzen \(T_1\), \(T_2\) erhält man, wenn man jedem Punkte der Kurve \(C\) die ihm vermöge \(T_1\) und die ihm vermöge \(T_2\) entsprechenden zuordnet; die Summe ist kommutativ und assoziativ. Das Produkt \(T_2T_1\) entsteht, indem man erst die einem Punkte der Kurve \(C\) vermöge \(T_1\) entsprechenden bestimmt und dann auf jeden derselben die Korrespondenz \(T_2\) anwendet; das Produkt ist im allgemeinen nicht kommutativ, wohl aber assoziativ und (bez. der Summe) distributiv.
Sind \(A\) und \(B\) zwei Gruppen von je \(n\) Punkten auf \(C\), so heißen \(A\) und \(B\) äquivalent \((A\equiv B)\), wenn sie einer und derselben linearen Schar der Ordnung \(n\) angehören; \(\lambda A\), wo \(\lambda\) eine natürliche Zahl ist, ergibt sich aus \(A\), indem man jeden Punkt von \(A\) \(\lambda\)-mal zählt. Damit ist auch die Bedeutung der allgemeineren Äquivalenz von der Gestalt \[ \sum\lambda_iA_i\equiv \sum\mu_iB_i \] gegeben, auch in dem Falle, wo die Koeffizienten \(\lambda\), \(\mu\) teilweise negative ganze Zahlen sind. Nunmehr wird der Begriff der Valenz aufgestellt. Sei \(Y\) die Gruppe der \(\beta\) Punkte \(y\), die irgend einem Punkte \(a\) auf \(C\) vermöge \(T\) entsprechen. Im allgemeinen variiert dann, wenn \(a\) variiert, \(Y\) nicht in einer linearen Schar der Ordnung \(\beta\); wohl aber gibt es eine (und, wenn \(C\) nicht rational ist, auch nur eine) positive oder negative Zahl \(\gamma\) (inkl. 0), so daß die Gruppe \(Y+\gamma a\) in einer linearen Schar der Ordnung \(\beta + \gamma\) variiert: \(\gamma\) heißt dann die Valenz von \(T\). Sodann wird nachgewiesen, daß die Summe zweier Korrespondenzen mit den Valenzen \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) die Valenz \(\gamma_1 + \gamma_2\) besitzt und das Produkt die Valenz \(-\gamma_1\gamma_2\).
Nunmehr wird die Gruppe der Koinzidenzpunkte für Korrespondenzen \(T\) mit der Valenz Null bestimmt, unter Zugrundelegung der algebraischen Kurvenschar, die die Gruppen \(Y\) ausschneidet. Ist \(T^{-1}\) die zu \(T\) inverse Korrespondenz, so besitzt auch \(T^{-1}\) die Valenz Null.
Entspricht in \(T^{-1}\) einem Punkte \(a\) die Gruppe \(X\), und ist \(U\) (bis auf gewisse feste Punkte) die Koinzidenzgruppe, so folgt das Korrespondenzprinzip in der symbolischen Form: \(U\equiv X + Y\). Auf jeder Kurve existieren Korrespondenzen mit beliebig vorgegebener Valenz \((\gtreqqless0)\). Die Inverse einer Korrespondenz hat dieselbe Valenz. Unter Verwendung des Begriffes einer “kanonischen” Gruppe \(K\) ist dann das allgemeine Korrespondenzprinzip in der Äquivalenz \(U\equiv X+Y+\gamma K+2\gamma a\) enthalten; im besonderen ist der numerische Ausdruck des Prinzips durch die Cayleysche Relation \[ u = \alpha + \beta + \gamma(2p-2) + 2\gamma = \alpha + \beta + 2\gamma p \] gegeben, wo \(u\) die Anzahl der Koinzidenzpunkte bedeutet und \(p\) das Geschlecht der Kurve \(C\). Ist die Korrespondenz das Produkt mehrerer Korrespondenzen, so erscheint die Koinzidenzformel in einer spezifischen Gestalt. Durch geeignete Erweiterung des Valenzbegriffes gelangt der Verf. zur Aufstellung sämtlicher Korrespondenzen auf einer beliebigen Kurve. Hierbei spielt noch der Begriff abhängiger Korrespondenzen eine wesentliche Rolle: ist die Äquivalenz \(\sum\lambda_iY_i\equiv \sum\lambda_iY_i'\) (wo die \(Y'\) einem Punkte \(a'\) entsprechen) nur für lauter verschwindende \(\lambda\) möglich, so heißen die zugehörigen Korrespondenzen unabhängig, im andern Falle abhängig. Es gelingt dann die Herstellung der geometrischen Beziehung zwischen den Koinzidenzgruppen mehrerer abhängiger Korrespondenzen, und diese führt zum allgemeinsten Korrespondenzprinzip.
Im zweiten Teile wird die Korrespondenztheorie auf Flächen angewandt: die Gesamtheit aller Punktepaare zweier Kurven \(C\), \(C'\) läßt sich durch eine Fläche \(F\) darstellen. Jedem Punkte \(x\) auf \(C\), insofern er noch zu \(\infty^1\) Punktepaaren gehört, entspricht auf \(F\) eine Kurve \(K_x\), und ebenso einem Punkte \(y\) auf \(C'\) eine Kurve \(K_y\). Variieren \(x\), \(y\), so beschreiben \(K_x\), \(K_y\) je einen Büschel \((K_x)\), \((K_y)\) vom Geschlecht \(p_1\), resp. \(p_2\), wenn dies die Geschlechter von \(C\), \(C'\) sind; jede Kurve \(K_x\) trifft jede Kurve \(K_y\) in einem Punkte. Umgekehrt läßt sich jede Fläche \(F\) mit zwei Büscheln von Kurven \(K_x\), \(K_y\), die sich je in einem Punkte treffen, zur Darstellung der Punktepaare zweier Kurven \(C\), \(C'\) verwenden. Die Punktepaare \(x\), \(y\) einer \((\alpha,\beta)\)-Korrespondenz \(T\) zwischen \(C\) und \(C'\) bilden sich ab auf eine Flächenkurve \(T\), die von jeder Kurve \(K_x\), \(K_y\) in \(\beta\), resp. \(\alpha\) Punkten geschnitten wird, und umgekehrt.
Diese Abbildung führt zu zwei neuen Charakteren einer Korrespondenz \(T\) zwischen \(C\), \(C'\), nämlich dem Geschlecht \(\varrho\) und dem Grade \(\nu\) der Bildkurve \(T\). Die Begriffe der Äquivalenz und der Abhängigkeit von Korrespondenzen sind ohne weiteres auf die Flächenkurven übertragbar. Zuerst werden Kurven \(T\) von der Valenz Null untersucht, insbesondere hinsichtlich ihrer Erzeugung. Ist einer der beiden Büschel \((K_x)\), \((K_y)\) rational, so läßt sich die Fläche \(F\) birational auf eine Kegelfläche beziehen.
Für die Anzahl der unabhängigen Kurven auf \(F\) existiert ein Maximum \(\leq2p_1p_2\). Aus den Kurven auf \(F\) läßt sich eine gewisse Anzahl, die eine “Minimalbasis” bilden, herausgreifen; jede Kurve auf \(F\) ist dann erzeugbar mittels Addition und Subtraktion aus Kurven der beiden Büschel \((K_x)\), \((K_y)\) und aus solchen der Minimalbasis. Jede Minimalbasis besitzt eine gewisse “Diskriminante”, die dann für alle Minimalbasen die nämliche ist.
Sodann wird die Fundamentalaufgabe gelöst, die Anzahl der gemeinsamen Punkte zweier Kurven auf \(F\) auszudrücken lediglich durch die Charaktere von \(F\), sowie durch gewisse Charaktere der beiden Kurven. Diese Formel heißt das “Bézoutsche Theorem” für Flächenkurven. Im übrigen sei auf die inhaltreiche Abhandlung selbst verwiesen.