×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur une certaine classe de cubiques gauches et sur des systèmes articulés qui s’y rattachent. (French) JFM 35.0700.01
Die Abhandlung verallgemeinert die vom Verf. in einer früheren Arbeit (F. d. M. 31, 592, 1900, JFM 31.0592.01) über die ebenen fokalen kubischen Kurven ausgesprochenen Sätze auf die “strophoidalen kubischen Raumkurven”. Eine kubische Raumkurve wird zu einer strophoidalen, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften hat: 1. Sie trifft die Umbilikale in zwei Punkten \(i\) und \(i'\). 2. Ihre Orthogonalprojektion auf eine durch die Gerade \(ii'\) im Unendlichen gelegte Ebene hat in ihrem Doppelpunkte rechtwinklige Tangenten; diese Projektion, welche die zyklischen Punkte der Ebene enthält, ist also eine Strophoide. Die allgemeinste Strophoidale hängt von neun Parametern ab, von denen nur drei ihre Größe, die anderen sechs ihre Lage bestimmen. Ist \((\pi)\) eine durch \(ii'\) gehende Ebene, \(\Gamma\) die Strophoidale, so existiert nur eine Sehne von \(\Gamma\), welche zu \((\pi)\) senkrecht ist. Sind \(\alpha\), \(\beta\) die Endpunkte dieser Sehne, so bilden \(\alpha\), \(\beta\), \(i\), \(i'\) eine harmonische Teilung auf \(\Gamma\). Die meisten Eigenschaften hängen mit der Involution zusammen, die auf \(\Gamma\) durch die Bedingung bestimmt wird, daß \(\alpha\) und \(\beta\) ihre Doppelpunkte sind. Zwei Punkte von \(\Gamma\), die sich in dieser Involution entsprechen, heißen assoziiert. Das Hauptinteresse an den Strophoidalen beruht darauf, daß man sie mit verschiedenen Gelenksystemen in Verbindung bringen kann, vor allem mit dem abplattbaren Oktaeder, auf das der Verf. früher durch ganz andere Betrachtungen geführt war (F. d. M. 28, 624, 1897, siehe JFM 28.0624.01 u. JFM 28.0624.02); die Ermittlung dieser Gelenksysteme bildet den Hauptinhalt des Aufsatzes. Geht man nämlich von drei Paaren assoziierter Punkte auf \(\Gamma\) aus: \((m, m')\), \((n, n')\), \((p, p')\), so erhält man durch Verbindung dieser sechs Punkte unter Fortlassung der Verbindungslinien eines und desselben Paares ein Oktaeder \((mnpm'n'p')\) mit dreieckigen Seitenflächen. Dieses wird näher untersucht.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML