×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die virtuellen Verschiebungen in der Mechanik. (German) JFM 35.0703.09
Die aus der Variationsrechnung entstammende Relation: \[ d\delta q - \delta dq = 0 \] galt in der Mechanik als das Merkmal wirklicher (holonomer) Koordinaten, während \(d\delta\vartheta - \delta d\vartheta \neq 0\) nicht-holonome (generalisierte) Koordinaten anzeigen sollte. Dagegen wird jetzt gezeigt, daß irgend eine Annahme über \(d\delta q - \delta dq\) für die Mechanik ganz unnötig ist, und daß das Kennzeichen für nicht-holonome Koordinaten \(\vartheta\) nur in der Form der Beziehung liegt, in der \(d\delta\vartheta - \delta d\vartheta\) zu den \(d\delta q - \delta dq\) stehen, falls die \(q\) wirkliche (holonome) Koordinaten sind. Um dieses zu beweisen, stellt der Verf. nach den nötigen Auseinandersetzungen über die virtuellen Verrückungen die “allgemeine Zentralgleichung” der Mechanik auf: \[ \frac d{dt}(\sum_\lambda J_\lambda \delta\vartheta_\lambda) = \sum_\lambda Q_\lambda \delta\vartheta_\lambda + \delta T + \sum_\lambda J_\lambda\left(\frac{d\delta\vartheta_\lambda}{dt} - \delta\frac{d\vartheta_\lambda}{dt}\right) - \sum_\lambda J_\lambda \Sigma_{\mu r} \beta_{\mu,\nu,\lambda} \delta\vartheta_\mu \frac{d\vartheta_r}{dt}. \] Dieselbe unterscheidet sich von der Lagrangeschen Zentralgleichung nur durch das Hinzutreten der beiden letzten Summen, die zusammengenommen verschwinden, wenn \(d\delta\bar x-\delta d\bar x=0\) angenommen wird. Aus dieser Gleichung werden die allgemeinen Bewegungsgleichungen gewonnen, unabhängig von jeder Annahme über \(d\delta\vartheta - \delta d\vartheta\).
Dann wird ein Blick auf die Beziehungen der Mechanik zur Variationsrechnung geworfen. Die in letzter Zeit gewonnene Klarheit über das Hamiltonsche Prinzip bei nicht holonomen Bedingungsgleichungen ist von selbst da, wenn man von der Zentralgleichung aus herantritt. Endlich werden noch die Beziehungen der Mechanik zur Lieschen Gruppentheorie betrachtet; als Fortführung der in der Habilitationsschrift begonnenen Untersuchung (F. d. M. 34, 757, 1903, JFM 34.0757.06) gelingt jetzt eine neue und klarere Darstellung des Sachverhaltes.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Auch in der Zeitschrift f. Math. u. Phys. Bd. 50. Heft 1, 1904. Im folgenden stets mit ?L. E. Gl.? bezeichnet.
[2] Unter der Annahme \(d\delta \bar x - \delta d\bar x = 0\) bei Lagrange t. I. Sec. Part Sect. IV, Nr. 3.
[3] Der Sache nach bei Lagrange, t. I. Sec. Part. Sect. IV, Nr. 7.
[4] ?L. E. Gl.? § 5, (IV). Übrigens haben diese Gleichungen bereits V. Volterra (?Sopra una classe di equazioni dinamiche?, Atti di Torino XXXIII, 1898) und P. Woronetz (?Über die Bewegungsgleichungen für nichtholonome Systeme.? [Russisch] Math. Sbornik, Moskau, t. XXII, 1901) abgeleitet.
[5] ?L. E. GI.? § 7.
[6] ?L. E. Gl.? § 3, (II). Der Beweis ist dort auf direktem Wege erbracht; auch liegt der Nachdruck mehr auf der Verwandtschaft der Übergangsgleichungen zu den Gleichungen, welche die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe definieren.
[7] ?L. E. Gl.? § 10, (VII).
[8] ?L. E. Gl.? § 9.
[9] ?L. E. Gl.? § 11, Schlußsatz.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.