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Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d’équilibre d’un liquide animé d’un mouvement de rotation. Traduit du russe par M. Edouard Davaux. (French) JFM 35.0709.03

Die Abhandlung ist eine Übersetzung der Inauguraldissertation des Verf. (F. d. M. 16, 793, 1884, JFM 16.0793.02). Da sich die Untersuchungen in manchen Punkten mit den jüngsten Arbeiten von H. Poincaré und Darwin begegnen, so war es ein dankenswertes Unternehmen, diese ältere Schrift durch eine Ausgabe in französischer Sprache dem westlichen Europa zugänglicher zu machen. Einige jetzt gemachte Änderungen und Noten sind dem Leser kenntlich bezeichnet.
Gegenstand der Forschung ist die Stabilität der ellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren einer in Drehbewegung begriffenen Flüssigkeit, deren Molekeln sich gegenseitig nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. Zum Ausgangspunkte dient eine Verallgemeinerung des bekannten Lagrangeschen Prinzips, nach welchem die Erforschung der Stabilität auf die Untersuchung des Minimums des Potentials zurückkommt. Als stabile Gleichgewichtsfigur wird eine Figur definiert, wenn die nach Erteilung hinreichend kleiner Störungen in der Bewegung entstandene Figur so wenig, wie man will, von der Gleichgewichtsfigur unterschieden bleibt, wenigstens so lange an der Oberfläche der Flüssigkeit sich nicht Auswüchse in ganz dünnen Faden- und Flächenformen bilden.
In der Einleitung wird eine historische Übersicht über die bezüglichen früheren Arbeiten und die verschiedenen Fragestellungen gegeben nebst einem Überblick über den Gang der Untersuchung in der vorliegenden Schrift. Das erste Kapitel enthält sodann die allgemeinen Betrachtungen über das Problem der Stabilität der Gleichgewichtsfiguren einer in Rotation befindlichen Flüssigkeit. Im zweiten Kapitel wird durch Erörterung der zweiten Variation des im ersten Kapitel aufgestellten Potentials \(\Pi\) das bekannte Resultat bestätigt, daß die Kugel eine Figur stabilen Gleichgewichtes ist.
Dieselbe Transformation, welche im II. Kapitel mit Hülfe von Reihenentwicklungen nach Kugelfunktionen zum Ziele geführt hat, wird im III. Kapitel bei den Umdrehungsellipsoiden angewandt. Zur Entscheidung über das Vorzeichen der zweiten Variation von \(\Pi\) führt der Verf. gewisse Funktionen ein, die mit den Kugelfunktionen in derselben Weise zusammenhängen wie die Hyperbelfunktionen mit den Kreistranszendenten. Dadurch gelingt der Nachweis, daß die Drehellipsoide stabil sind, solange als ihre Exzentrizität unterhalb derjenigen Exzentrizität (0,8216...) des Drehellipsoids bleibt, mit dem die Jacobischen Ellipsoide für die obere Grenze der Winkelgeschwindigkeit zusammenfallen. Außerdem werden zwei besondere Fälle betrachtet: der, bei dem das Trägheitsellipsoid der flüssigen Masse immer ein Drehellipsoid bleibt, und der, bei dem die Oberfläche der Flüssigkeit immer eine Drehfläche bleibt. In dem ersteren Falle erhält man als obere Grenze der Exzentrizität der stabilen Ellipsoide die Zahl 0,89..., in dem zweiten 0,985...
Das IV. Kapitel dient der Darlegung der Eigenschaften der Laméschen Funktionen, auf denen im folgenden Kapitel die Transformation der zweiten Variation von \(\Pi\) und die Untersuchung ihres Vorzeichens bei den dreiachsigen Ellipsoiden beruht. Die hierauf bezügliche Prüfung des V. Kapitels zeigt dann, daß die dreiachsigen Ellipsoide stabil sind, so lange sie den Drehellipsoiden hinreichend nahe stehen. Man erhält jedoch ziemlich enge Grenzen für die Winkelgeschwindigkeit hinsichtlich der stabilen Ellipsoide; es wird bewiesen, daß sie zwischen Grenzen eingeschlossen sein muß, deren Verhältnis 0,87... ist. Unter anderem wird noch gezeigt, daß für den besonderen, von Riemann betrachteten Fall die abgeleiten Formeln das nämliche Resultat liefern, zu dem Riemann bezüglich der Jacobischen dreiachsigen Ellipsoide kommt.
Aus dem Gesagten geht hervor, daß die Untersuchung durchweg auf die zweite Variation von \(\Pi\) beschränkt ist. Daher ist in der Studie eine Lücke: Um die Frage nach der Stabilität der Ellipsoide zu lösen, die den stabilen Ellipsoiden als Grenzen dienen, hat man die Terme der Zunahme von \(\Pi\) in Rechnung zu ziehen, welche dem Term bezüglich der zweiten Variation folgen. Mit der Untersuchung dieser Posten ist der Verf. noch nicht zu einem streng begründeten Ergebnis vorgedrungen. Allein diese Bemerkung bezieht sich nicht auf das Jacobische Drehellipsoid, das als eine der Grenzen für die stabilen zwei- oder dreiachsigen Ellipsoide dient. Zur Erforschung der Stabilität dieses Ellipsoids kann man sich eines besonderen Verfahrens bedienen, mit dessen Hülfe die Frage auf die Untersuchung des Vorzeichens einer gewissen quadratischen Form gebracht wird. Die Lösung dieser Aufgabe bildet den Gegenstand des VI. Kapitels, wo gezeigt wird, daß das Jacobische Drehellipsoid stabil ist.

MSC:

76A05 Non-Newtonian fluids
76U05 General theory of rotating fluids

Citations:

JFM 16.0793.02
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Full Text: DOI Numdam EuDML