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Figure ellittiche di equilibrio di un velo piano liquido ruotante. (Italian) JFM 35.0710.01

Während der unendliche elliptische Zylinder als Grenzfall des dreiachsigen Ellipsoids für die Gleichgewichtslage einer rotierenden Flüssigkeit, deren Molekeln sich nach dem Newtonschen Gesetze anziehen, schon untersucht worden ist (Tisserand: Mécanique cél. 2, 107), scheint der entgegengesetzte Grenzfall einer verschwindenden Achse des Gleichgewichtsellipsoids noch nicht betrachtet zu sein. Diese Frage wird in der gegenwärtigen Abhandlung untersucht.
Die Masse wird nicht als homogen angenommen, sondern auf jeder der Ellipsen, die zur äußeren ähnlich und konzentrisch sind, von konstanter Dichtigkeit \(\varrho\); diese Dichtigkeit \(\varrho\) wird weiter als Funktion eines Parameters vorausgesetzt, der vom Rand bis zum Zentrum die Werte 0 bis 1 stetig durchläuft. Indem dann der zweidimensionalen Flüssigkeit dieselben Eigenschaften beigelegt werden wie bei drei Dimensionen, wird folgendes Ergebnis abgeleitet: Es gibt einen Grenzwert für die Winkelgeschwindigkeit, über den hinaus nicht mehr elliptische Gleichgewichtsgestalten für die betrachtete Oberflächenflüssigkeit möglich sind. Jedem Werte der Winkelgeschwindigkeit, der unterhalb des Grenzwertes liegt, entspricht mindestens eine Gleichgewichtsfigur, höchstens drei. Die Kreisfigur des Gleichgewichts ist für jeden beliebigen Wert der Winkelgeschwindigkeit möglich.
Im Verlaufe der Untersuchung wird zuerst die Potentialfunktion der Ellipse in den Punkten der anziehenden Masse bestimmt, dann werden die Gleichungen für das Gleichgewicht einer zweidimensionalen Flüssigkeitsmasse aufgestellt; endlich wird unter Anwendung der gefundenen Bedingungsgleichung auf die vorliegende Aufgabe die Diskussion der analytischen Resultate durchgeführt.
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References:

[1] VediTisserand,Mécanique céleste, vol. II, cap. III, pag. 107.
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