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Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder. (German) JFM 36.0142.01
Ein wohlbekannter Satz der Vektoranalysis besagt, daß ein überall endliches und stetiges, im Unendlichen verschwindendes Vektorfeld stets in zwei einfache Komponenten, ein wirbelfreies (lamellares) und ein quellenfreies (solenoïdales) Feld, zerlegbar ist. Die bekannten Beweise dieses Satzes setzen eine spezielle Art des Verschwindens im Unendlichen voraus. Sie benutzen nämlich Raumintegrale \(\int \frac{ {\text{div}} \,\mathbf u}r d\;\tau\) und \(\int \frac{{\text{rot}}\, \mathbf u} r d \tau\), deren Existenz nur dann feststeht, wenn das Feld \(u\) im Unendlichen weder Quellen, noch Wirbel besitzt oder wie \(\frac 1{r^2}\) verschwindet. Der Verf. teilt einen allgemeingültigen Beweis mit, der nur die Annahme benutzt, daß das Feld und seine Ableitungen im Unendlichen verschwinden. Dabei ergibt sich ihm die überraschende Tatsache, daß im allgemeinen Falle die komponierenden Felder im Unendlichen selbst unendlich werden, aber nur von einer bestimmten niedrigen Maximalordnung, während sie in den bisher betrachteten Fällen gleichfalls im Unendlichen verschwinden.

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References:
[1] Vergl. z. B. Voigt, Kompendium der theoretischen Physik, I, pg. 189-191: Abraham-Föppl, Theorie der Elektrizität, I, pg. 98-99; Math. Enc. IV (2) 14 (Abraham), pg. 19.
[2] Siehe z. B. Dirichlet-Grube, Vorlesungen über Potentialtheorie, p. 18ff. Vergl. besonders auch O. Hölder, Beiträge zur Potentialtheorie (Diss. Tübingen 1882, pg. 9-19).
[3] Math. Enc. IV 14 (Abraham), pg. 19 u. 20, Formel (20).
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