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On a definition of abstract groups. (English) JFM 36.0193.01
Eine Gesamtheit \(G\) von Elementen, die sich untereinander komponieren lassen, bilden, wie Verf. zeigt, eine Gruppe, wenn von ihnen folgende fünf untereinander unabhängige Postulate erfüllt werden:
1. Das Produkt \(ab\) zweier beliebigen Elemente aus \(G\) gehört \(G\) an.
2. Für irgend drei Elemente \(a, b, c\) aus \(G\) gilt das assoziative Gesetz \(a(bc)=(ab)c\).
\(3''\). In \(G\) existiert ein Element \(a\), so daß \(aa=a\) ist.
\(3_l''\). Sind \(a\) und \(b\) Elemente aus \(G\) und ist \(aa=a\), so soll \(ab=b\) sein.
\(4_l''\). Sind \(a\) und \(b\) Elemente aus \(G\) und ist \(aa=a\), so soll ein Element \(b_l^{(a)}\) existieren, daß \(b_l^{(a)} b= a\) wird.
Diese fünf Postulate bleiben auch noch unabhängig, wenn man verlangt, die Elemente von \(G\) sollen eine Abelsche Gruppe definieren, d. h. sie sollen durch das Postulat \(A)\) der Kommutativität ergänzt werden: \(A)\) Sind \(a\) und \(b\) Elemente aus \(G\), so soll \(ab=ba\) sein. Die Note ist eine Ergänzung des Aufsatzes in den American M. S. Trans. 3, 485-492 (F. d. M. 33, 142, 1902, JFM 33.0142.01); die dortige zweite Definition einer Gruppe enthielt außer den obigen fünf Postulaten noch ein sechstes \(3_r^{\prime\prime})\), das aus ihnen herleitbar ist. \(3_r^{\prime\prime})\) bezog sich auf die rechtshändige Multiplikation mit \(a\), also \(ba=b\), wenn \(aa=a\) ist. (Vgl. auch E. H. Moore, American M. S. Trans. 5, 549.)

MSC:
20-XX Group theory and generalizations
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